（江苏专用）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 理-人教版高三全册数学试题.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用理

1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)

1．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是__________．
答案(0,1)
解析∵f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2x＋1x－1,x)(x>0)．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
2．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为____________．
答案(1，＋∞)
解析令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0，
∴g(x)在R上为减函数，且g(1)＝f(1)－2－1＝0.
由g(x)<0＝g(1)，得x>1.
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
答案2
解析由题意知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或2，由f′(x)>0得x<0或x>2，由f′(x)<0得0<x<2.∴f(x)在x＝2处取得极小值．
4．(教材改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为________．

答案1
解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．
5．设1<x<2，则eq\f(lnx,x)，(eq\f(lnx,x))2，eq\f(lnx2,x2)的大小关系是__________________．(用“<”连接)
答案(eq\f(lnx,x))2<eq\f(lnx,x)<eq\f(lnx2,x2)
解析令f(x)＝x－lnx(1<x<2)，
则f′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)>0，
∴函数y＝f(x)(1<x<2)为增函数，
∴f(x)>f(1)＝1>0，∴x>lnx>0⇒0<eq\f(lnx,x)<1，
∴(eq\f(lnx,x))2<eq\f(lnx,x).
又eq\f(lnx2,x2)－eq\f(lnx,x)＝eq\f(2lnx－xlnx,x2)＝eq\f(2－xlnx,x2)>0，
∴(eq\f(lnx,x))2<eq\f(lnx,x)<eq\f(lnx2,x2).