高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数的应用(二) 理-人教版高三全册数学试题.doc

第3讲导数的应用(二)
一、选择题
1．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的()．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案A
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 ()．
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.
答案B
3．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是 ()．
A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)
C．f(－2)与f(2) D．f(2)与f(－2)
解析由图象知f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；同理f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
∴y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选C.
答案C
4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq\f(3,2)，则切点的横坐标为()
A．ln2B．－ln2
C.eq\f(ln2,2)D.eq\f(－ln2,2)
解析f′(x)＝ex－ae－x，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f′(0)＝0，故只能是a＝1.此时f′(x)＝ex－e－x，设切点的横坐标是x0，则ex0－e－x0＝eq\f(3,2)，即2(ex0)2－3ex0－2＝0，即(ex0－2)(2ex0＋1)＝0，只能是ex0＝2，解得x0＝ln2.正确选项为A.
答案A
5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是()．

解析若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a＝c.因选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，则[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝a(x＋1)(x＋3)ex，∴x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－eq\f(b,2a)＞0，且开口向下，∴a＜0，b＞0，∴f(－1)＝2a－b＜0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－eq\f(b,2a)＜－1，且开口向上，∴a＞0，b＞2a，∴f(－1)＝2a－b＜0，与图矛盾，故答案选D.
答案D
6．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是 ()．
A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))
C．[3,12] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，12))
解析因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f′(x)＝3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－2≥0，,f′－1≤0，,f′1≤0，,f′2≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12－8b＋c≥0，,3－4b＋c≤0，,3＋4b＋c≤0，,12＋8b＋c≥0，))
画出可行域如图所示．因为f(－1)＝2b－c，由图知经过点A(0，－3)时，f(－1)取得最小值3，经过点C(0，－12)时，f(－1)取得最大值12，所以f(－1)的取值范围为[3,12]．
答案C
二、填空题
7．函数f(x)＝x2－2lnx的最小值为________．
解析由f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝0，得x2＝1.又x＞0，所以x＝1.因为0＜x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时f′(x)＞0，所以当x＝1时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)＝1.
答案1
8．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围________．
解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
由已知条件Δ>0，即3