高考数学知识模块复习能力训练——极限【II】导学案 旧人教版.doc

高考数学知识模块复习能力训练——极限【II】导学案旧人教版
一、选择题
1．下列数列极限存在的有（）
A．10，10，10，…

2．下列数列收敛的有（）
A.0.9,0.99,0.999,0.9999,…

3．下列数收敛于0有（）

4．数列与的极限分别为A与B，A≠B，则数列的极限为（）
A．A B．B C．A+B D．不存在

A．可能收敛 B．一定收敛 C．可能发散 D．一定发散

A．充要条件 B．充分条件 C．必要条件 D．无关条件
7．下列极限存在的有（）

8．下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（）

9．下列变量在给定变化过程中是无穷大量的有（）

Ａ．任意函数 B．无穷小量 C．有界函数 D无穷大量
11．下列极限正确的是（）

A．1 B．0 C．2

Ａ．必要条件 B．充分条件 C．充分必要条件 D．无关的条件

A．连续函数 B．是有界函数
C．有最大值与最小值 D．有最大值无最小值

二、辨析题
1．如果n无限增大时，数列越来越接近常数A，那么是否一定收敛于A？
2．设在常数A的无论怎样小的ε邻域内都密集着数列的无穷多个点，那么是否一定收敛于A？
3．有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？
4．单调数列是否一定收敛？摆动着的数列是否一定发散？
5．如果数列和都发散，问和是否一定发散？
6．如果收敛、发散，问的收敛与发散情况能否确定？
7．设，在求时，有人求解如下：设对等式，两边取极限，得A=1+2A，于是A=-1所以．有人指出，这个结果是错误的．因为，故不可能的．请判断此题解法是否正确．若不正确，请指出错在哪里？
8．若且当时，g(x)有界，则，这一结论正确吗？为什么？

三、计算题

四、证明题
1．根据数列极限的定义证明．

2．证明当x→0时函数f(x)=|x|的极限为零．
3．根据极限定义证明：当时函数f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。

参考答案
一、选择题
1．A，B，D2．A，D3．A，B，C，D4．D5．D6．D7．A8．A，D9．A，B，C，D10．B，C11．B，C，D12．D13．C14．A15．A，B，D

二、辨析题
1．不一定收敛于A，问题主要发生在只说越来越接近常数A，并没说明这种接近的程度如何．如果这种接近受到限制，虽然也可以说越来越接近，但却不能与A构成收敛的关系，只有当说越来越无限接近常数A时，才表明是收敛于A的．例如取，A=-1，随着n无限增加，越来越接近-1，但它始终保持与-1有大于的差异，-1并不能说成是当n→∞时的极限．
2．不一定收敛于A．因为极限定义中要求对于A的无论怎样小的ε邻域，都存在正整数，当n>N时，将全部落入A的该ε邻域内．这里只说有无穷多个中的点落入该邻域尚不能保证中当n>N后的全部的点均落入该邻域．例如则零的无论怎样小的ε邻域内都密集着的无穷多个点，但却是发散点．
3．有界数列不一定收敛．例如，它为有界数列，但它却是发散的．
无界数列是一定发散的．因为如果它是收敛的，根据收敛的必要数列条件，它必须是有界的．
4．单调数列不一定收敛．例如取，该数列是单调递增的，但它是无界数列，因此一定是发散的．
摆动数列不一定是发散的．例如取是摆动数列，但它收敛于零．
5．均不一定发散．例如当时，，它是收敛的，并且也是收敛的．当时，，它是收敛的．
6．是一定发散的．因为如果收敛，而，则为两个收敛列的差，亦应收敛，这与假设矛盾；又因发散，因此也发散，而，如果收敛，可得收敛，从而也收敛，这与已知矛盾．
是收敛性不确定．例如取，则收敛．又如取，则发散．但当已知时,可知发散．否则,因由商的极限法则可得出收敛的结论,这与已知矛盾．
7.错在“设”．因为的极限存在与否尚没指明时，先承认它是收敛的，这是不允许的．即对的理解应为它表示收敛且以A为极限．本题中的其实是发散的，如果按趋向方式来说，它是趋向于+∞的．即可以将+∞作为极限记号使用时，得出A=1+2A还是正确的．因为它是含+∞的一种记号形式．但这样做也推不出A=-1的结论．
8．不正确．因若g(x)≡0，f(x)=x时，则得不出f(x)→0(x→∞)的结论．

三、计算题

6．0

15．∞解法与上题同．
16．因为x→0时，为无穷小量，而为有界变量，所以
17．0解法与上题同．

25．1

29．2解法与上题同，先分母有理化。
30．2提示：先分子有理化．

32．1
33．原式=（分子、分母同除以）=
34．0提示：用无穷小量乘有界变量法．

四、证明题
1．（1）要使，只须即，于是对于任意的ε>0，取，于是对任意给定的ε>0，取，只要n>N,就有，所以．
（2），要使，只须．于是