高考数学知识模块复习指导学案——极限【II】人教版.doc

例2用定义证明
规范证法设,对于任意给定的ε>0，要使,只要就可以了．因此，对于任意给定的ε>0，取,则当|x|>M时，
有时，我们还需要区分x趋于无穷大的符号．如果x从某一时刻起，往后总是取正值而且无限增大．则称x趋于正无穷大，记作x→+∞，此时定义中，|x|>M可改写为x>M，如果x从某一时刻起，往后总取负值且|x|无限增大，则称x趋于负无穷大，记作x→-∞，此时定义中的|x|>M可改写成x<-M．
例3

思路启迪根据定义，要证即证对于任意给定的ε>0，总存在M>O，使当x>M时，即可．
规范证法设对任意给定的ε>0，要使
，只要，即就可以了．因此，对于任意给定的1>ε>0，取,则当x>M时，恒成立，所以

当x→∞时，f(x)以A为极限的几何意义是：对于任意给定的正数ε(无论多么小)，在坐标平面上作两平行直线y=A-ε与y=A+ε，两直线之间形成一个带形区域．不论ε多么小，即不论带形区域多么狭窄，总可以找到M>0，当点(x，f(x))的横坐标x进入区间(-∞，-M)U(M，+∞)时，纵坐标f(x)全部落入区间(A-ε,A+ε)内．此时y=f(x)的图形处于带形区域内．ε越小，则带形区域越狭窄，如图2—7所示．

8．什么是函数左极限与右极限?
前面讲了时函数f(x)的极限，在那里x是以任意方式趋于的．但是，有时我们还需要知道x仅从的左侧或仅从的右侧趋于时，f(x)的变化趋势．于是，就要引进左极限与右极限的概念．
例如，函数，图形见图2-8．

容易观察出，当x从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1；而当x从0的右侧趋于0时，f(x)趋于0．我们分别称它是x趋于0时的左极限与右极限．
再考察当x趋于0时的极限．由于函数的定义域为[0，+∞)因此只能考察其右极限．对,由于其定义域为(-∞，0]，因此，当x趋于0时，只能考察其左极限．
定义：如果当x从的左侧趋于时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的ε>0，总存在一个正数δ，使时，恒成立，则称A为时f(x)的左极限.记作或如果当x从的右侧趋于时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的ε>0，总存在—个正数δ，使当时，|f(x)-A|<ε恒成立，则称A为时f(x)的右极限，记作或
根据左、右极限的定义，显然可以得到下列定理．

例1设
思路启迪要看当x→0时，f(x)的极限是否存在，就应先求出x→0时f(x)的左、右极限，并看f(x)的左、右极限是否相等．若相等，则极限存在；反之，则极限不存在．
规范解法当x<0时，；而当x≥0时，．左、右极限都存在，但不相等．所以，由上面的定理可知，不存在．

例2研究当x→0时，f(x)=|x|的极限．
思路启迪因为f(x)=|x|，所以应对f(x)分情况讨论，得到f(x)为一个分段函数，再按照例1的方法讨论f(x)的极限．
规范解法已知，可以证明，，所以，由上面的定理得

9．怎样计算函数的极限?
要计算函数的极限，需知道函数极限的运算法则，它们的证明完全和数列的情形相仿．
函数极限的四则运算法则：
如果那么
．这些法则对于x→∞时的情况仍然成立．由以上法则易得(C是常数)，(n是正整数)．利用这些法则求下面几个函数的极限．

例1求
思路启迪由于该极限中的每一项都存在极限，所以可以用极限四则运算法则中和式的极限等于极限的和来计算．
规范解法

点评若极限式各项中，有一项或几项的极限不存在，就不能直接利用函数极限的四则运算法则来做．

例2求
思路启迪与例1类似．
规范解法因为

点评由例1,例2可以看出:若f(x)为多项式函数或当时分母极限不为0的分式函数,根据极限运算法则可以得出

例3求
思路启迪将分子分母同除以,使分子分母的极限存在．
规范解法将分子分母同除以,得

例4求
思路启迪将分子有理化,使分子分母极限存在．

例5已知
求
思路启迪要求,应先看其左,右极限,比较两极限是否相同,若相同,则极限为其左,右极限值,若不相同,则极限不存在．

10．什么是函数两个重要极限?

证明:首先证明如下图2-9,是以点Ｏ为心,半径为1的圆弧，过A作圆弧的切线与OB的延长线交于点C．设∠DOB=x(按弧度计算)，则显然，△AOB的面积<扇形AOB的面积<△AOC的面积．即或sinx<x<tanx,以sinx>0除之，得或.∵，

∴(根据夹挤定理，参看后面知识链接部分第4个问题中的方法1)．
其次，当x<0时，设x=-y,当时，有，则

例1求
思路启迪将tanx写成，代回原式，使之出现这个重要极限．
规范解法

例2求
思路启迪将kx看成一个新变量t，即令t=kx，则x→0时，t→0．
规范解法

例3求
思路启迪先将1-cosx用半角公式化成，就可以利用特殊极限
规范解法

注意：我们在利用时，一定要注意x的趋