高考数学知识模块复习能力训练——极限【II】导学案 旧人教版.doc

高考数学知识模块复习能力训练——极限【II】导学案旧人教版一、选择题1．下列数列极限存在的有（）A．101010…2．下列数列收敛的有（）A.0.90.990.9990.9999…3．下列数收敛于0有（）4．数列与的极限分别为A与BA≠B则数列的极限为（）A．AB．BC．A+BD．不存在A．可能收敛B．一定收敛C．可能发散D．一定发散A．充要条件B．充分条件C．必要条件D．无关条件7．下列极限存在的有（）8．下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（）9．下列变量在给定变化过程中是无穷大量的有（）Ａ．任意函数B．无穷小量C．有界函数D无穷大量11．下列极限正确的是（）A．1B．0C．2Ａ．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．无关的条件A．连续函数B．是有界函数C．有最大值与最小值D．有最大值无最小值二、辨析题1．如果n无限增大时数列越来越接近常数A那么是否一定收敛于A？2．设在常数A的无论怎样小的ε邻域内都密集着数列的无穷多个点那么是否一定收敛于A？3．有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？4．单调数列是否一定收敛？摆动着的数列是否一定发散？5．如果数列和都发散问和是否一定发散？6．如果收敛、发散问的收敛与发散情况能否确定？7．设在求时有人求解如下：设对等式两边取极限得A=1+2A于是A=-1所以．有人指出这个结果是错误的．因为故不可能的．请判断此题解法是否正确．若不正确请指出错在哪里？8．若且当时g(x)有界则这一结论正确吗？为什么？三、计算题四、证明题1．根据数列极限的定义证明．2．证明当x→0时函数f(x)=|x|的极限为零．3．根据极限定义证明：当时函数f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。参考答案一、选择题1．ABD2．AD3．ABCD4．D5．D6．D7．A8．AD9．ABCD10．BC11．BCD12．D13．C14．A15．ABD二、辨析题1．不一定收敛于A问题主要发生在只说越来越接近常数A并没说明这种接近的程度如何．如果这种接近受到限制虽然也可以说越来越接近但却不能与A构成收敛的关系只有当说越来越无限接近常数A时才表明是收敛于A的．例如取A=-1随着n无限增加越来越接近-1但它始终保持与-1有大于的差异-1并不能说成是当n→∞时的极限．2．不一定收敛于A．因为极限定义中要求对于A的无论怎样小的ε邻域都存在正整数当n>N时将全部落入A的该ε邻域内．这里只说有无穷多个中的点落入该邻域尚不能保证中当n>N后的全部的点均落入该邻域．例如则零的无论怎样小的ε邻域内都密集着的无穷多个点但却是发散点．3．有界数列不一定收敛．例如它为有界数列但它却是发散的．无界数列是一定发散的．因为如果它是收敛的根据收敛的必要数列条件它必须是有界的．4．单调数列不一定收敛．例如取该数列是单调递增的但它是无界数列因此一定是发散的．摆动数列不一定是发散的．例如取是摆动数列但它收敛于零．5．均不一定发散．例如当时它是收敛的并且也是收敛的．当时它是收敛的．6．是一定发散的．因为如果收敛而则为两个收敛列的差亦应收敛这与假设矛盾；又因发散因此也发散而如果收敛可得收敛从而也收敛这与已知矛盾．是收敛性不确定．例如取则收敛．又如取则发散．但当已知时可知发散．否则因由商的极限法则可得出收敛的结论这与已知矛盾．7.错在“设”．因为的极限存在与否尚没指明时先承认它是收敛的这是不允许的．即对的理解应为它表示收敛且以A为极限．本题中的其实是发散的如果按趋向方式来说它是趋向于+∞的．即可以将+∞作为极限记号使用时得出A=1+2A还是正确的．因为它是含+∞的一种记号形式．但这样做也推不出A=-1的结论．8．不正确．因若g(x)≡0f(x)=x时则得不出f(x)→0(x→∞)的结论．三、计算题6．015．∞解法与上题同．16．因为x→0时为无穷小量而为有界变量所以17．0解法与上题同．25．129．2解法与上题同先分母有理化。30．2提示：先分子有理化．32．133．原式=（分子、分母同除以）=34．0提示：用无穷小量乘有界变量法．四、证明题1．（1）要使只须即于是对于任意的ε>0取于是对任意给定的ε>0取只要n>N就有所以．（2）要使只须．于是对任意给定的ε>0取只要n>N就有所以（3）要使只要于是对任意给定的ε>0取只要n>N就有所以（4）要使只要即于是对任意给定的ε>0（ε<1）取只要n>N就有所以（5）与前面（1）～（4）题证法相同．2．要使||x|-0|=|x|=|x-0|<ε只须取δ=ε即对任意给定的ε>0存在δ=ε只要0<|x-0|<δ就有||x|-0|<ε所以3．必要性：若则对于任意给定