高中数学 第六章 平面向量初步 6.1平面向量及其线性运算 6.1.5 向量的线性运算学案（含解析）新人教B版必修第二册-新人教B版高一必修第二册数学学案.docx

6.1.5向量的线性运算

学习目标
1.会利用公式进行向量的混合运算;
2.了解平面向量的线性运算.
自主预习
自主预习平面向量混合运算以及线性运算.
课堂探究
一、体系构建结构完善
进一步完善向量混合运算以及平面向量线性运算的概念.
二、题型分类典例精讲
题型一向量的加法与数乘向量的混合运算
例1如下图所示,讨论3a+3b与3(a+b)之间的关系.

变式训练1
化简:5a+b+2(a+b).

题型二向量的线性运算
例2如图所示,已知AD=23AB,AE=23AC,求证:DE=23BC.

变式训练2
如图,平行四边形ABCD中,点M在AB的延长线上,且BM=12AB,点N在BC上,且BN=13BC,求证:M,N,D三点共线.

核心素养专练
(一)基础过关
1.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点,且OA,OB,OC,OD满足等式OA+OC=OB+OD,则四边形ABCD是()

A.平行四边形 B.菱形
C.梯形 D.等腰梯形
2.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()
A.B,C,D B.A,B,C
C.A,B,D D.A,C,D
3.(多选题)设e1,e2是两个不共线的向量,关于向量a,b共线的有()
A.a=2e1,b=-2e1
B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2
C.a=4e1-25e2,b=e1-110e2
D.a=e1+e2,b=2e1-2e2
4.已知A,B,P三点共线,O为平面内任一点,若OP=λOA+2OB,则实数λ的值为.
5.两个非零向量a,b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)求实数k,使ka+b与2a+kb共线.

6.如图所示,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD至M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN.
求证:M,A,N三点共线.

(二)能力提升
1.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m的值为()
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图所示,平行四边形ABCD,E在边AB上,且BE=14BA,F为对角线BD上的点,且BF=15BD,则()

A.E,F,C三点共线,且EF=13FC
B.E,F,C三点共线,且EF=14FC
C.E,F,C三点共线,且EF=15FC
D.E,F,C三点不共线
3.如图所示,在▱ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=.(用a,b表示)

4.如图,已知在▱ABCD中,M为AB的中点,N在BD上,3BN=BD.
求证:M,N,C三点共线.

5.如图,设G为△ABC的重心,过G的直线l分别交AB,AC于P,Q,若AP=mAB,AQ=nAC,求证:1m+1n=3.

(三)探索研究
设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()
A.AD B.12AD C.BC D.12BC
参考答案
自主预习
略
课堂探究
一、略
二、题型分类典例精讲
例1解:在题图中,DE=3a,EF=3b,DF=3a+3b.注意到∠DEF=∠ABC,|DE|=3|AB|,|EF|=3|BC|.所以△DEF∽△ABC.因此DF∥AC,且|DF|=3|AC|,从而有DF=3(a+b),即3a+3b=3(a+b).
变式训练1解:原式=5a+b+2a+2b=5a+2a+b+2b=(5+2)a+(1+2)b=7a+3b.
例2证明:由已知得DE=AE-AD=23AC-23AB=23(AC-AB)=23BC.
变式训练2证明:设AB=a,AD=b,则BC=AD=b.
∵BN=13BC=13b,BM=12AB=12a,
∴MN=BN-BM=13b-12a,
又MD=AD-AM=b-32a=313b-12a=3MN,
∴向量MN与MD共线.
又M是向量MN与MD的公共点,故M,N,D三点共线.
核心素养专练
(一)基础过关:1.A2.C3.ABC4.-1
5.(1)证明:∵AD=AB+BC+CD=a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6AB,∴A,B,D三点共线.
(2)解:∵ka+b与2a+kb共线,∴ka+b=λ(2a+kb).
∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0,
∴k-2λ=0,1-λk=0⇒k=±2.
6.证明:在△AMC中,D为MC的中点,
易得2AD=AM+AC.
∵D为AB中点,∴AB=2AD,∴AB=AM+AC,
∴AM=AB-AC=CB.同理,得AN=BC.
∴AM=-AN.∴A,M,N三点共线.
(二)能力提升
1.B2.B3.14(b-a)
4.证明:设AB=a,AD=b,
则BD=BA+AD=-a