高中数学 第六章 平面向量初步 6.1平面向量及其线性运算 6.1.5 向量的线性运算学案（含解析）新人教B版必修第二册-新人教B版高一必修第二册数学学案.docx

6.1.5向量的线性运算学习目标1.会利用公式进行向量的混合运算;2.了解平面向量的线性运算.自主预习自主预习平面向量混合运算以及线性运算.课堂探究一、体系构建结构完善进一步完善向量混合运算以及平面向量线性运算的概念.二、题型分类典例精讲题型一向量的加法与数乘向量的混合运算例1如下图所示讨论3a+3b与3(a+b)之间的关系.变式训练1化简:5a+b+2(a+b).题型二向量的线性运算例2如图所示已知AD=23ABAE=23AC求证:DE=23BC.变式训练2如图平行四边形ABCD中点M在AB的延长线上且BM=12AB点N在BC上且BN=13BC求证:MND三点共线.核心素养专练(一)基础过关1.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点且OAOBOCOD满足等式OA+OC=OB+OD则四边形ABCD是()A.平行四边形B.菱形C.梯形D.等腰梯形2.已知向量ab且AB=a+2bBC=-5a+6bCD=7a-2b则一定共线的三点是()A.BCDB.ABCC.ABDD.ACD3.(多选题)设e1e2是两个不共线的向量关于向量ab共线的有()A.a=2e1b=-2e1B.a=e1-e2b=-2e1+2e2C.a=4e1-25e2b=e1-110e2D.a=e1+e2b=2e1-2e24.已知ABP三点共线O为平面内任一点若OP=λOA+2OB则实数λ的值为.5.两个非零向量ab不共线.(1)若AB=a+bBC=2a+8bCD=3(a-b)求证:ABD三点共线;(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.6.如图所示已知DE分别为△ABC的边ABAC的中点延长CD至M使DM=CD延长BE至N使BE=EN.求证:MAN三点共线.(二)能力提升1.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立则m的值为()A.2B.3C.4D.52.如图所示平行四边形ABCDE在边AB上且BE=14BAF为对角线BD上的点且BF=15BD则()A.EFC三点共线且EF=13FCB.EFC三点共线且EF=14FCC.EFC三点共线且EF=15FCD.EFC三点不共线3.如图所示在▱ABCD中AB=aAD=bAN=3NCM为BC的中点则MN=.(用ab表示)4.如图已知在▱ABCD中M为AB的中点N在BD上3BN=BD.求证:MNC三点共线.5.如图设G为△ABC的重心过G的直线l分别交ABAC于PQ若AP=mABAQ=nAC求证:1m+1n=3.(三)探索研究设DEF分别为△ABC的三边BCCAAB的中点则EB+FC=()A.ADB.12ADC.BCD.12BC参考答案自主预习略课堂探究一、略二、题型分类典例精讲例1解:在题图中DE=3aEF=3bDF=3a+3b.注意到∠DEF=∠ABC|DE|=3|AB||EF|=3|BC|.所以△DEF∽△ABC.因此DF∥AC且|DF|=3|AC|从而有DF=3(a+b)即3a+3b=3(a+b).变式训练1解:原式=5a+b+2a+2b=5a+2a+b+2b=(5+2)a+(1+2)b=7a+3b.例2证明:由已知得DE=AE-AD=23AC-23AB=23(AC-AB)=23BC.变式训练2证明:设AB=aAD=b则BC=AD=b.∵BN=13BC=13bBM=12AB=12a∴MN=BN-BM=13b-12a又MD=AD-AM=b-32a=313b-12a=3MN∴向量MN与MD共线.又M是向量MN与MD的公共点故MND三点共线.核心素养专练(一)基础过关:1.A2.C3.ABC4.-15.(1)证明:∵AD=AB+BC+CD=a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6AB∴ABD三点共线.(2)解:∵ka+b与2a+kb共线∴ka+b=λ(2a+kb).∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0∴k-2λ=01-λk=0⇒k=±2.6.证明:在△AMC中D为MC的中点易得2AD=AM+AC.∵D为AB中点∴AB=2AD∴AB=AM+AC∴AM=AB-AC=CB.同理得AN=BC.∴AM=-AN.∴AMN三点共线.(二)能力提升1.B2.B3.14(b-a)4.证明:设AB=aAD=b则BD=BA+AD=-a+bBN=13BD=-13a+13bMB=12aBC=AD=b∴MC=MB+BC=12a+bMN=MB+BN=12a-13a+13b=1312a+b∴MN=13MC.∴MN∥MC又M为公共点.∴MNC三点共线.5.证明:设AB=aAC=b∵AP=mABAQ=nAC∴AP=maAQ=nb.∵G为△ABC的重心连接AG并延长交BC于D则AD为△AB