高中数学 第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算 6.1.5 向量的线性运算课件 新人教B版必修第二册-新人教B版高一必修第二册数学课件.ppt

6.1.5向量的线性运算必备知识·自主学习1.向量的加法与数乘向量的混合运算规定:一般地一个含有向量加法、数乘向量运算的式子要先算数乘向量再算向量加法.运算律:对于实数λμ以及向量ab有(1)λa+μa=_________.(2)λ(a+b)=________.【思考】(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么?提示:向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量.(2)这里的条件“λμ为实数”能省略吗?为什么?提示:不能数乘向量中的λμ都是实数只有λμ都是实数时运算律才成立.2.向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算统称为向量的线性运算.【基础小测】(1)实数λ与向量a则λ+a与λ-a的和是向量.()(2)对于非零向量a向量-3a与向量a方向相反.()(3)λ(a-b)=λa-λb.()(4)λa+μa与(λ+μ)a的方向都与a的方向相同.()提示:(1)×.λ+a与λ-a均无意义.(2)√.因为-3<0所以正确.(3)√.(4)×.只有当λ+μ是正数时λa+μa与(λ+μ)a的方向才都与a的方向相同.2.(教材二次开发:例题改编)下列计算正确的个数是()①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.因为(-3)·2a=-6a故①正确;②中左=2a+2b-2b+a=3a成立故②正确;③中左=a+2b-2b-a=0≠0故③错误.3.设M是△ABC边BC的中点若则λ+μ的值为________.【解析】因为M是△ABC边BC的中点所以因为所以λ+μ=1.答案:1关键能力·合作学习2.关于向量下列结论错误的是()A.0·a=0B.m·(na)=(mn)·a(mn∈R)C.D.(m+n)·a=m·a+n·a(mn∈R).3.已知向量abx且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)则x=________.【解析】1.选B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.选A.对于A0·a=0≠0故A错误;对于B当mn∈R时m·(na)=mn·a=(mn)·a故B正确;对于C因为大小相等方向相反则故C正确;对于D当mn∈R时·a=m·a+n·a故D正确.3.因为(x-a)-(b-x)=x-(a+b)所以2x-a-b=x-a-b即x=0.答案:0【解题策略】向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算主要是“合并同类项”“提取公因式”但这里的“同类项”“公因式”指向量实数看成是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解把所求向量当作未知数利用解代数方程的方法求解同时在运算过程中要多注意观察恰当运用运算律简化运算.【补偿训练】已知向量ab且5x+2y=a3x-y=b求xy.【解析】将3x-y=b两边同乘2得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加得11x=a+2b即所以y=3x-b=类型二用已知向量表示相关向量(直观想象、数学运算)【典例】如图已知=3e1=3e2若CDE是AB的四等分点求【思路导引】在数形结合的基础上结合向量的加减法及数乘向量的几何意义和运算律灵活运用平面几何中的重要定理和性质进行合理转化即可.【解析】方法一:方法二:因为D是AB的中点所以又C是AD中点所以又E是DB中点所以【解题策略】已知向量表示未知向量的技巧用图形中的已知向量表示所求向量应结合已知和所求联想相关的法则和几何图形的有关定理将所求向量反复分解直到全部可以用已知向量表示其实质是向量线性运算的反复应用.【跟踪训练】(2020·滨州高一检测)如图所示在正方形ABCD中E为AB的中点F为CE的中点则=()【解析】选D.根据题意得:【拓展延伸】对向量线性运算的理解向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似因此实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用.【拓展训练】1.设DE分别是△ABC的边ABBC上的点AD=ABBE=BC.若(λ1λ2为实数)则λ1+λ2的值为________.2.如图所示已知▱ABCD的边BCCD上的中点分别为KL且=e1=e2试用e1e2表示【解析】1.答案:2.类型三三点共线问题(直观想象、逻辑推理)【典例】设ab