高考数学知识模块复习指导学案——极限【知识拓展】人教版.doc

【知识拓展】收敛数列有几个重要性质它们可表现为下面几个定理：证明：假设数列有两个极限a与b即与根据数列极限定义对于任意的ε>0分别有：存在自然数当时有；存在自然数当时有．取当n>N时同时有与于是当n>N时有因为a与b是常数2ε是任意小的正数所以只有a=b上述不等式才能成立即数列的极限是惟一的．定理2：（有界性）若数列收敛则有界即存在正数M对任意自然数n有证明：设根据数列极限的定义取定（ε可以根据需要任意选取）存在自然数N当n>N时有因为所以当n>N时有或即…．在数列中不满足不等式的项充其量不过是前N项：.令．于是对任意自然数n有定理2指出收敛的数列必有界．反之有界数列不一定收敛．例如已知数列是有界的但它却是发散的．换句话说有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件．2．什么是有界数列?定义：若存在两个数AB(设A<B)数列中的每一项都在闭区间[AB]内亦即则称为有界数列．这时A称为它的下界B称为它的上界．关于有界数列有下面几点说明．(1)如果B是数列的上界那么B＋1B＋2B+α(α>0)都是的上界．这表明上界并不是惟一的下界也是如此．(2)对于数列如果存在正整数N当n>N时总有我们就说数列往后有界．要注意往后有界一定是有界的这是因为在N项之前只有有限多个数在这有限个数中必有最大的数和最小的数设那么min(Aα)和max(Bβ)就是整个数列的下界和上界．(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数M使得就称是有界数列．或者也可以这么说若存在原点Ｏ的一个M邻域Ｏ(OM)使得所有就称是有界数列这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的．3．什么是单调有界数列?设是一个数列如果我们就说这个数列是单调增加(上升)的．如果我们就说这个数列是单调减少(下降)的．例如就是一个单调减少的数列．如果在上面数列中等号都不成立就称它是严格单调增加或严格单调减少的．4．数列的收敛判别法有哪法?方法1．若存在自然数N当n>N总有且则[注：方法1被称为夹挤定理．]例1计算思路启迪只要找到两个数列与使则规范解法方法2．单调有界数列存在极限．例2证明数列收敛并求它的极限．思路启迪首先对于这种随n的增大数列的项有规律变化的情况可以用数学归纳法证明该数列单调并且有界．这样该数列必存在极限．可以设极限为则根据第n+1项与第n项的关系列出关于的等式就可以求出．规范证法设有用归纳法证明数列是单调增加的又是有上界的．显然设(k是自然数)有即则数列是单调增加的．显然当n=1时有．设n=k时有．当n=k+1时也有即数列是有上界的．由于数是单调增加的并且有上界所以数则收敛．设已知有即得由可知不能是负数则数列的极限是5．函数极限有哪些性质和数列极限性质完全相仿函数极限也具有以下几个性质：性质1．若且A>B则存在δ>0使当时f(x)>g(x)．证明：取那么存在当时有；同时又存在当时有现在令那么当时就有性质2．若且存在δ>0使当时f(x)<g(x)则A≤B．性质3．若而A>B(A<B)则存在δ>0使当时f(x)>B(f(x)<B)．性质4．若则A=B这说明了函数极限的惟一性．证明：采用反证法如果A≠B不妨设A>B由性质1知道存在δ>0当时有f(x)>f(x)矛盾这就证明了A=B性质5．若存在δ>0使当时f(x)≤g(x)≤h(x)并且则性质6．(局部有界性)若则存在着δ>0使得f(x)在区间和内有界亦即在不等式所表示的区间内有界．[注：若函数f(x)在某个区间Z内满足A≤f(x)≤B其中AB是两个常数我们称f(x)在Z内有界并称A是f(x)在Z内的下界B是f(x)在Z内的上界．显然对任何α>0A-α都是f(x)的下界同样对任何β>0B+β都是f(x)的上界．这个定义也可以这样叙述：设函数f(x)在某个区间Z内满足|f(x)|≤M其中M是一个正实数我们就称f(x)在Z内有界．以上两种说法显然是等价的．]证明：取—个固定的ε譬如说取ε=1由知道存在δ>0当时有A-1<f(x)<A+1这就证明了f(x)在和内有界．要注意的是由极限存在只能断定函数在相应的某个去心邻域内有界而不能断定它在整个定义域内有界．例如它的定义域是(-∞1)和(1+∞)由前面的例子知道．根据性质6存在某个δ>0在(1-δ1)和(11+δ)内有界．但是这个函数在它的定义域内有它的图形是一条抛物线但除去x=1可见在(-∞1)和(1+∞)内是无界的．6．连续函数有哪些性质?若函数f(x)和g(x)均在点处连续则函数f(x)±g(x)f(x)·g(x)f(x)/g(x)在点处也连续．若函数y=f(u)在点处连续在点连续且则复合函数在点连续．若函数y=f(x)在区间[ab]上单调、连续且f(a)=αf(b)=β则其反函数在区间[αβ]或[βα]上单调、连续．基本初等函数(包括幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数与对