高考数学知识模块复习指导学案——极限【知识拓展】人教版.doc

【知识拓展】
收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：

证明：假设数列有两个极限a与b，即与，根据数列极限定义，对于任意的ε>0分别有：存在自然数当时，有；存在自然数，当时，有．取，当n>N时，同时有与，于是当n>N时，有因为a与b是常数，2ε是任意小的正数，所以只有a=b，上述不等式才能成立，即数列的极限是惟一的．
定理2：（有界性）若数列收敛，则有界，即存在正数M，对任意自然数n有
证明：设，根据数列极限的定义，取定（ε可以根据需要任意选取），存在自然数N，当n>N时，有因为，所以当n>N时，有或即…．
在数列中不满足不等式的项充其量不过是前N项：.令．于是，对任意自然数n，有
定理2指出收敛的数列必有界．反之，有界数列不一定收敛．例如，已知数列是有界的，但它却是发散的．换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件．

2．什么是有界数列?
定义：若存在两个数A，B(设A<B)，数列中的每一项都在闭区间[A，B]内，亦即，则称为有界数列．这时A称为它的下界，B称为它的上界．关于有界数列有下面几点说明．
(1)如果B是数列的上界，那么B＋1，B＋2，B+α(α>0)都是的上界．这表明上界并不是惟一的，下界也是如此．
(2)对于数列，如果存在正整数N，当n>N时，总有,我们就说数列往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项之前只有有限多个数在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设，那么min(A，α)和max(B，β)就是整个数列的下界和上界．
(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数M，使得，就称是有界数列．或者也可以这么说，若存在原点Ｏ的一个M邻域Ｏ(O，M)，使得所有，就称是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的．

3．什么是单调有界数列?
设是一个数列，如果我们就说这个数列是单调增加(上升)的．如果我们就说这个数列是单调减少(下降)的．例如就是一个单调减少的数列．如果在上面数列中等号都不成立，就称它是严格单调增加或严格单调减少的．

4．数列的收敛判别法有哪法?
方法1．若存在自然数N，当n>N，总有，且，则
[注：方法1被称为夹挤定理．]

例1计算

思路启迪
只要找到两个数列与，使则
规范解法

方法2．单调有界数列存在极限．

例2证明数列收敛，并求它的极限．
思路启迪首先对于这种随n的增大，数列的项有规律变化的情况可以用数学归纳法证明该数列单调并且有界．这样该数列必存在极限．可以设极限为，则根据第n+1项与第n项的关系列出关于的等式就可以求出．
规范证法设有，用归纳法证明数列是单调增加的，又是有上界的．显然，设(k是自然数)有，即，则数列是单调增加的．显然，当n=1时，有．设n=k时，有．当n=k+1时，也有，即数列是有上界的．由于数是单调增加的并且有上界，所以数则收敛．设，已知,有即，得，由可知，不能是负数，则数列的极限是

5．函数极限有哪些性质
和数列极限性质完全相仿，函数极限也具有以下几个性质：
性质1．若，且A>B，则存在δ>0，使当时，
f(x)>g(x)．
证明：取那么存在当时，有；同时又存在，当时，有，现在，令，那么当时，就有
性质2．若且存在δ>0，使当时，f(x)<g(x)，则A≤B．
性质3．若而A>B(A<B)，则存在δ>0，使当时,f(x)>B(f(x)<B)．
性质4．若则A=B，这说明了函数极限的惟一性．
证明：采用反证法，如果A≠B，不妨设A>B，由性质1知道，存在δ>0，当时，有f(x)>f(x)矛盾，这就证明了A=B
性质5．若存在δ>0，使当时，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且
则
性质6．(局部有界性)若，则存在着δ>0，使得f(x)在区间和内有界，亦即在不等式所表示的区间内有界．
[注：若函数f(x)在某个区间Z内满足A≤f(x)≤B，其中A，B是两个常数，我们称f(x)在Z内有界，并称A是f(x)在Z内的下界，B是f(x)在Z内的上界．显然，对任何α>0，A-α都是f(x)的下界，同样对任何β>0，B+β都是f(x)的上界．这个定义也可以这样叙述：设函数f(x)在某个区间Z内满足|f(x)|≤M，其中M是一个正实数，我们就称f(x)在Z内有界．以上两种说法显然是等价的．]
证明：取—个固定的ε，譬如说取ε=1，由知道，存在δ>0，当时，有A-1<f(x)<A+1，这就证明了f(x)在和内有界．
要注意的是，由极限存在，只能断定函数在相应的某个去心邻域内有界，而不能断定它在整个定义域内有界．例如,它的定义域是(-∞，1)和(1，+∞)，由前面的例子知道．根据性质6，存在某个δ>0，在(1-δ，1)和(1，1+δ)内，有界．但是这个函数在它的定义域内有，它的图形是一条抛物线，但除去x=1，可见在(-∞，1)和(1，+