（中小学教案）高中数学 2.1《数列（2）》教案（苏教版必修5）.doc

用心爱心专心

第2课时：§2.1数列（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3.理解数列的前项和与的关系；掌握根据数列的前项和确定数列的通项公式．
4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.
二、过程与方法
经历数列知识的感受及理解运用的过程。
三、情感、态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：
重点：数列的递推公式的理解与应用；
难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系
【学法与教学用具】：
1.学法：
2.教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.
2.提问：已知数列满足，能写出这个数列的前5项吗？
思考：已知在数列中，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？
二、研探新知
1．递推公式
（1）递推公式的概念：
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：如果已知数列的第一项（或前几项），以及任一项与前面一项（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做的递推公式．
说明：递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89，递推公式为：
（2）数列的前项的和
数列中，称为数列的前n项和，记为.
表示前1项之和：=
表示前2项之和：=
……
表示前n-1项之和：=
表示前n项之和：=.
∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.
（3）与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即注意验证的情况．
证明：显然时，当即时，
∴∴
注意：（1）此法可作为常用公式；（2）当时满足时，则
（4）数列的单调性：
设是由连续的正整数构成的集合，若对于中的每一个都有（或），则数列在内单调递增（或单调递减）.
（5）两个重要的变换：
①②
注意：1．求数列的通项公式与求数列的前项和是数列的两个最基本问题，解决问题时必须特别仔细地计算项数，弄错一项将全题尽毁.
2．数列的单调性是探索数列的特点，特别是求数列的最大、小项的重要方法，若想用高等方法讨论数列的单调性，不能直接对求导，应先对函数求导，然后再分析的单调性.
3．与的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式，任何时候使用这个公式都必须从“”开始讨论，千万不要错了一项.
4．上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
变题：已知数列的首项，求出这个数列的第5项.（学生口答）
例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得
变题：若数列中，，，且各项满足，则是该数列的第几项？
例3已知，写出前5项，并猜想．
法一：，观察可得
法二：由∴即∴
∴
变题：若数列中，，且各项满足，写出该数列的前四项．
例4已知数列的前n项和为①；②。求数列的通项公式。
解：①当时，当时，,经检验时也适合
②当时，当时，
∴
思考题：已知数列为，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式.
例5已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式．
解：（1）当时，；
当时，；所以．
（2）因为，且，，所以
说明：由数列的前项和求时，要注意分和讨论，然后将代入所得的通项公式，看结果是否符合的情况，不是则需要写成分段形式．
四、巩固深化，反馈矫正