2021-2022学年新教材高中数学 课时检测34 直线与平面垂直的性质（含解析）新人教A版必修第二册.doc

直线与平面垂直的性质
[A级基础巩固]
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，若m与l不重合，则直线l，m的位置关系是()
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
解析：选C∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则()
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
解析：选B因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.
3．已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝()
A．2 B．1
C.eq\f(3,2) D．eq\f(1,2)
解析：选A如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(AC,BD).因为OA＝AB，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(1,2).因为AC＝1，所以BD＝2.故选A.
4．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中正确的是()

A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成的角为45°
D．异面直线MN与DD1所成的角为60°
解析：选ABC如图，连接BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点知MN∥A1D.因为A1D⊂平面ADD1A1，MN⊄平面ADD1A1，所以MN∥平面ADD1A1故A正确；易知AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又MN∥A1D，所以AB⊥MN，故B正确；易知MN与平面ABCD所成的角即为A1D与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确；易知MN与DD1所成角即为A1D与DD1所成角，为45°，故D错误．故选A、B、C.
5．如图，在正四棱锥S­ABCD中，E是BC的中点，点P在△SCD内及其边界上运动，并且总有PE⊥AC，则动点P所组成的集合与△SCD组成的图形是()

解析：选A取CD的中点F，SC的中点Q.连接BD，EQ，FQ，EF(图略)，则EQ綉eq\f(1,2)SB，EF綉eq\f(1,2)BD.∵在正四棱锥S­ABCD中，SB在平面ABCD内的射影在BD上，且AC⊥BD，∴AC⊥SB，故AC⊥EQ.又AC⊥BD，∴AC⊥EF，又EF∩EQ＝E，∴AC⊥平面EQF，∴当点P在FQ上移动时，总有AC⊥PE.故选A.
6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．
解析：易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD一定是菱形．
答案：菱形
7.如图，矩形ABCD和矩形CDEF有一公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝eq\r(2)，ED＝eq\r(2).则点B到平面AED的距离为________，EF到平面ABCD的距离为________．
解析：由题意知，ED⊥平面ADCB，∴ED⊥AB.
又∵AB⊥AD，ED∩AD＝D，∴AB⊥平面AED，
∴BA即为所求距离，
因此点B到平面AED的距离为2.
∵ED⊥平面ADCB，
∴E到平面ADCB的距离为eq\r(2).
∵EF∥平面ABCD，
∴EF到平面ABCD的距离也是eq\r(2).
答案：2eq\r(2)
8．一条与平面α相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则这条线段与平面α所成角的大小是________．
解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
答案：30°
9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.
证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，
∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D，①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.
同理可得DC1⊥BD1.
又DC