2022秋新教材高中数学 课时跟踪检测（三十）直线与平面垂直的性质 新人教A版必修第二册.doc

直线与平面垂直的性质层级(一)“四基”落实练1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则()A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面但不垂直D．B1B与l相交但不垂直解析：选B因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：选C∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C.3.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝()A．2B．3C.eq\r(5)D.eq\r(13)解析：选D因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13).4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C.5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α∥β且l⊥βC．α与β相交，且交线与l垂直D．α与β相交，且交线与l平行解析：选D若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．设α∩β＝a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因为m⊥α，n⊥β，所以m′⊥α，n′⊥β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.又因为l⊄α，l⊄β，所以l与a不重合．所以l∥a.综上知，选D.6．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.答案：47.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.层级(二)能力提升练1.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC解析：选CPA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正确．故选C.2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是()①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选B①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题．故选B.3．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________．解析：如图所示，设PO⊥平面ABC于O，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE，OF，OC.∵PO⊥