2021-2022学年新教材高中数学 课时检测33 直线与平面垂直的判定（含解析）新人教A版必修第二册.doc

直线与平面垂直的判定[A级基础巩固]1．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于()A．20°B．70°C．90°D．110°解析：选B∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A由题图可知，∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：选B由几何体ABCD­A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1.4．(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有下列结论，其中正确的结论是()A．AC∥平面CB1D1B．AC1⊥平面CB1D1C．AC1与底面ABCD所成角的正切值是eq\f(\r(2),2)D．AD1与BD为异面直线解析：选BCD因为AC∩平面CB1D1＝C，所以AC与平面CB1D1不平行，故A错误；连接BC1，A1C1(图略)，易证AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C.因为B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，故B正确；因为CC1⊥底面ABCD，所以∠C1AC即为AC1与底面ABCD所成的角，所以tan∠C1AC＝eq\f(C1C,AC)＝eq\f(\r(2),2)，故C正确；AD1与BD既无交点也不平行，所以AD1与BD为异面直线，故D正确．5．(多选)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是()A．BC⊥平面PABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC解析：选ABC∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确．6．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形．答案：47．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.答案：(1)45°(2)30°8．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.答案：90°9．如图，在四面体A­BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝eq\r(2).求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG(图略)．∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD.又E为AD的中点，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1.∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.10.如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点C到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.证明：(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直