2021-2022学年新教材高中数学 课时检测36 平面与平面垂直的性质（含解析）新人教A版必修第二册.doc

平面与平面垂直的性质[A级基础巩固]1．下列命题错误的是()A．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于βB．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线C．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线D．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内解析：选A在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直线AB1⊂平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错．2．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是()A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α解析：选BA中α，γ可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.故选B.3.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．垂直解析：选D由于正方体中面ABB1A1⊥面A1B1C1D1，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．故选D.4．(多选)如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABC解析：选ABC因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立．故选A、B、C.5.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A连接AC1(图略)．∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.6.如图，在三棱锥P­ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)7.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________．解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE＝eq\r(3)，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋CE2)＝2.答案：28．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.答案：45°9.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面