等差数列等比数列综合二.doc

等差数列等比数列综合（二）

1．能够用有特殊与一般的数学思想处理数数列问题。
2．数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．

难点正本疑点清源
1．用函数的观点理解等差数列、等比数列
(1)对于等差数列，由an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点．当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列．
若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2＋qn(p、q∈R)．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
(2)对于等比数列：an＝a1qn－1.可用指数函数的性质 来理解．
①当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时，等比数列是递增数列；
②当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时，等比数列{an}是递减数列．
③当q＝1时，是一个常数列．
④当q<0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
2．解答数列综合问题的注意事项
(1)要重视审题、精心联想、沟通联系；
(2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来.
方法与技巧
1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列性质既有相似之处,又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．
2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．
3．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．

1．在等比数列中，，且，则的最小值为．
2．若数列成等差数列，成等比数列，则的取值范围是．
3．若等差数列与等比数列中，若，，则的大小关系为．
4．等差数列中，已知，，则的取值范围是.
5．已知等比数列的首项是，公比为2，等差数列的首项是，公差为，把中的各项按照如下规则依次插入到的每相邻两项之间，构成新数列：，……，即在和两项之间依次插入中个项，则．
6．定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数总有不等式成立，则称函数为该区间上的上凸函数.类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为上凸数列.现有数列满足如下两个条件：
（1）数列为上凸数列，且；
（2）对正整数，都有，其中.
则数列中的第五项的取值范围为.
7．已知等差数列的首项为，公差为，若对恒成立，则实数的取值范围是．
8．设等比数列的公比，表示数列的前n项的和，表示数列的前n项的乘积，表示的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，
即，则数列的前n项
的和是(用和q表示)

【例1】数列是公比大于的等比数列，，.
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列.设第个等差数列的前项和是.求关于的多项式，使得对任意恒成立；
对于（2）中的数列，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项，，（其中正整数，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.

【例3】已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，当时，，且存在非零常数使恒成立．
（1）若数列是等差数列，求的值；
（2）求证：数列为等比数列的充要条件是．
（3）已知，，且（），数列的前项是，对于给定常数，若的值是一个与无关的量，求的值．高考资源网w。w-w*k&s%5￥u

【例4】已知各项均为正整数的数列满足，且存在正整数,使得
（1）当时，求数列的前36项的和；
求数列的通项；
（3）若数列满足，且其前n项积为，试问n为何值时，取得最大值？

1．已知等比数列为递增数列，且，，则．
2．设等比数列的公比为，前项和为，若，，成等差数列，则．
3．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则的值为．
4．已知函数f(x)＝a·bx的图象过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，B(3,1)，若记an＝log2f(n)(n∈N*)，Sn是数列{an}
的前n项和，则Sn的最小值是________．
5．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大
值，则n＝________.