专题二——等差数列与等比数列.doc

PAGE-5-高一数学期末复习专题二——等差数列与等比数列知识梳理一、等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式⑴通项公式，为首项，为公差.⑵前项和公式或或3.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，，成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列.（3）通项法：是等差数列.（4）前项和公式法：是等差数列.注：（3）（4）可以在填空题里作为判断等差数列的依据，解答题中证明等差数列只能用（1）（2）5.等差数列的常用性质⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列，公差分别为；⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.⑶；(,是常数)；(,是常数)⑷若，则；⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；⑹若项数为，则；若项数为，则，，.（7）若等差数列的前项和为，则是等差数列，公差为；（8）有两个等差数列分别为其前项和，则二、等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.2.通项公式与前项和公式⑴通项公式：，为首项，为公比.⑵前项和公式：①当时，②当时，.3.等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等比中项，，成等比数列.4.等比数列的判定方法⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.（3）通项法：是等比数列.（4）前项和公式法：是等比数列.注：（3）（4）可以在填空题里作为判断等比数列的依据，解答题中证明等比数列只能用（1）（2）5.等比数列的常用性质⑴数列是等比数列，则数列（是常数）是等比数列；⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.⑶⑷若，则；⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列，公比为.（）典型例题题型1已知等差、等比数列的某些项，求某项例1.（1）已知为等差数列，，则；（2）已知为等比数列，，则；变式训练：（1）在等差数列中，，则＝．（2）已知等比数列中，，，则．题型2已知前项和及其某项，求项数.例2．⑴已知为等差数列的前项和，，求；⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.例3.⑴已知为等比数列前项和，，，公比，则项数.⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.题型3求等差、等比数列前项和例4.已知为等差数列的前项和，.求.例5.已知为数列前项和，，求变式训练：已知为等差数列的前项和，⑴当为何值时，取得最大值；⑵求的值；⑶求数列的前项和题型4证明数列是等差、等比数列例6.已知公比为3的等比数列与数列满足，且，（1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若，求数列的前n项和例7.已知数列和满足：，，，其中为实数，.⑴对任意实数，证明数列不是等比数列；⑵试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.变式训练：已知数列满足⑴证明：数列是等比数列；⑵求数列的通项公式；⑶若数列满足证明是等差数列.题型5等差、等比数列的性质例8．（1）设、分别是等差数列、的前项和，，则.（2）已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是.（3）已知为等比数列前项和，，，则.（4）已知等比数列中，，则.（5）在等比数列中，已知，，则.（6）在等比数列中，共有项，奇数项的和为，偶数项的和为，则公比.题型6等差、等比数列与其它知识的综合例9.设为数列的前项和，，，.⑴设，求数列的通项公式；⑵若，求的取值范围．例10.已知为数列的前项和，；数列满足：，，其前项和为⑴求数列、的通项公式；⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.变式训练：已知为数列的前项和，，.⑴求数列的通项公式；⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.巩固练习1．已知为HYPERLINK"http://www.mathschina.com"等差数列，，，则．2．在数列在中，，，,其中为常数，则3．在等比数列｛｝中,若,则的值是.4．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于5．设表示等比数列（）的前项和，已知，则。6．若关于的方程和的四个根可组成首项为的等差数列，则的值是．7．设等差数列的前项和为，若，，则8．设数列中，，则通项_______。9．等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为10．已知等差数列满足：．若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为．11．已知