数列求通项公式.doc

精选文本
精选文本
.
.
精选文本
.
高考递推数列题型分类归纳解析
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以
，
变式:已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.
解：，
，即
，

…………

将以上k个式子相加，得

将代入，得
，
。精选文本
精选文本
.
.
精选文本
.
经检验也适合，
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
例2:已知，，求。
解：
。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项
解：由已知，得，用此式减去已知式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
类型3（其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。精选文本
精选文本
.
.
精选文本
.
例:已知数列中，，，求.
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.
变式:在数列中，若，则该数列的通项_______________
（key:）
变式:已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：
（I）解：

是以为首项，2为公比的等比数列

即
（II）证法一：

①
②
②－①，得
即精选文本
精选文本
.
.
精选文本
.

③－④，得
即

是等差数列
证法二：同证法一，得

令得
设下面用数学归纳法证明
（1）当时，等式成立
（2）假设当时，那么

这就是说，当时，等式也成立
根据（1）和（2），可知对任何都成立
是等差数列
（III）证明：

精选文本
精选文本
.
.
精选文本
.
变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．
类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
例:已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：
所以
变式:设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：
解：（I）当时，；
当时，，即，利用（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）的方法，解之得：
(Ⅱ)将代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)
=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)
Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))精选文本
精选文本
.
.
精选文本
.
所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－eq\f(1,2i+1－1))<eq\f(3,2)
类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足
解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
数列：，，求数列的通项公式。
由，得
，
且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是
。把代入，得
，
，
，
精选文本
精选文本
.
.
精选文本
.
。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。
,
。
又由，于是

故
例:已知数列中，,,，求。
解：由可转化为
即或
这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得精选文本
精选文本
.
.
精选文本
.
个等式累加之，即
又，所以。
变式:已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等