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第12章动量矩定理

12-1质量为m的点在平面Oxy内运动，其运动方程为
x=acosωt

y=bsin2ωt
式中a，b和ω为常量。求质点对原点O的动量矩。
解由运动方程对时间的1阶导数得原点的速度
dx
v==−aωsinωt
xdt
（1）
dy
v==2bωcos2ωt
ydt
质点对点O的动量矩为

LO=MO(mvx)+M0(mvy)=−mvx⋅y+mvy⋅x

=−m⋅(−aωsinωt)⋅bsin2ωt+m⋅2bωcos2ωt⋅acosωt
=2mabωcos3ωt
用矢量表示有

LO=r×mv=(xi+yj)×(mx&i+my&j)=(xmy&−ymx&)k
其中x&,y&由式（1）确定。

12-2无重杆OA以角速度ω0绕轴O转动，质量m=25kg，半径R=200mm的均质
圆盘以3种方式安装于杆OA的点A，如图12-12a所示。在图12-12a中，圆盘与杆OA焊

接在一起，在图12-12b中，圆盘与杆OA在点A铰接，且相对杆OA以角速度ωr逆时针向

转动。在图12-12c中，圆盘相对杆OA以角速度ωr顺时针向转动。已知ωO=ωr=4rad/s，
计算在此3种情况下，圆盘对轴O的动量矩。

2R2R

Rv
vAωA
ω00
AA
OωrO
ωr

(b1)(c1)
图12-2
解（1）在图12-2a中，轮A绕O定轴转动
19
J=mR2+m(2R)2=mR2
O22
9
L=Jω=ωmR2=18kgm2/s
OOO2O
（2）在图12-2b1中，轮A作平面运动

LO=m⋅vA⋅2R+JAωa
1
=m⋅2Rω⋅2R+mR2⋅(ω+ω)=5ωmR2=20kgm2/s
O2OrO

156
（3）在图12-2c1中，轮A绕O作圆周曲线平移

LO=m⋅2RωO⋅2R+JAωa

ωa=ωO−ωr=0

22
LO=4RωOm=()4×0.2×4×25kgm/s=16kgm/s
12-3如图12-3所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质

心为C，AC=e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C，A，B三点在同1铅直线上。
（1）当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对地面上点B的动量矩。（2）当轮子
又滚又滑时，若vA、ω已知，求轮子的动量和对地面上点B的动量矩。
解（1）当轮子只滚不滑时，轮上点B为速度瞬心。
轮子角速度
v
ω=A
R
质心C的速度
v
v=ωBC=A(R+e)
CR
轮子的动量
R+e
p=mv=mv（→）
CRA
对点B动量矩图12-3

LB=JB⋅ω
222
JB=JC+m(R+e)=JA−me+m(R+e)
v
L=[]J−me2+m(R+e)2A
BAR
（2）当轮子又滚又滑时由基点法求得点C速度。

vC=vA+vCA=vA+ωe

轮子动量

p=mvC=m(vA+ωe)（→）
对点B动量矩
2
LB=mvCBC+JCω=m(vA+ωe)(R+e)+(JA−me)ω

=mvA(R+e)+ω(JA+mRe)

12-41半径为R，质量为m1的均质圆盘，可绕通过其中心O的铅垂轴无摩擦地旋转，

12
如图12-4a所示。1质量为m2的人在盘上由点B按规律s=at沿半径为r的圆周行走。
2
开始时，圆盘和人静止。求圆盘的角速度和角加速度α。

B
Rr
v
O

(a)(b)
图12-4
解以人和圆盘为质点系，由于作用于系统的外力（重力和轴O的约束力）对轴O的
矩均为零，所以人和圆盘组成的系统对轴O的动量矩守恒。设人在盘上绕轴O顺时针走圆
周，则盘必逆时针转，圆盘对轴O的动量矩为
mR2
L=J⋅ω=1⋅ω
12

157
人随圆盘转的牵连速度和人对圆盘的相对速度都沿圆周切向。以反时针转为正向，牵连速度
的投影为rω，相对速度的投影为
−s&=−at
人对地面的绝对速度的投影为

v0=rω−s&=rω−at
其方向与r垂直，所以人对轴O的动量矩为

L2=m2(rω−at)⋅r
由质点系动量矩守恒定律有
mR2
0=1ω+m(rω−at)⋅r
22

2m2art
ω=22
Rm1+2m2r

2m2ar
α=ω&=22
Rm1+2m2r
12-5如图12-5a所示水平圆板可绕轴z转动。在圆板上有1质点M作圆周运动，已知

其速度的大小为常量，等于v0，质点M的质量为m，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，
点M在圆板的位置由角ϕ确定，如图12-5a所示。如圆板的转动惯量为J，并且当点M离

轴z最远在点M0时，圆板的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，求圆板的角速度
与角ϕ的关系。

ω

ve
v0

Orϕy
o1
l

x

(a)(b)
图12-5
解以圆板和质点M为系统，因为系统所受外力（包括重力和约束