经典物理拾阶 3 刚体转动.pdf

第三章Page1of4

第三章刚体转动

迄今为止，我们考虑质点系统的运动，还只是有限的几种情况，下面我们讨论的刚体定轴运动包含了
一种新的运动形式，转动。至于刚体是由几乎无限多的粒子组成这点，却并不构成我们分析上的困难。因
为刚体的定义就是组成刚体的粒子之间保持固定的相互位置关系，这就使得我们要描述刚体的运动并不需
要同时描述所有粒子的运动。
实际上，当刚体平动时，所有粒子的运动状态都是一样的。而当刚体定轴转动时，各个粒子运动状态的
差异，只是表现在它们距离定轴的大小不同而已。
因此本章的主要内容是讨论转动，而对于转动，我们固然可以只是使用我们已经学过的牛顿力学的那
些基本方法来研究，但是，转动的最核心的特征，就是方向的改变，完全可以通过引入适当的新概念，来
给予简明的描述。
实际上我们要强调对转动运动的描述与对平动运动的描述具有很大的类似性，下面，我们着重关注的
就是应用什么样的概念来描述转动，并且总是围绕转动与平动的类似性来进行阐述。

刚体的定轴转动
对于刚体的转动，可以是非常的复杂，我们只考虑最简单的一种——定轴运动。这样，每一个粒子的
运动轨迹都是一个圆周，而且所有的这些圆周平面都相互平行。
不过，由于定轴运动必须在三维空间处理，所以我们还必须在描述三维空间的几何方面作些准备。这
就是我们前面讨论过的矢积。
在三维空间我们遇到的第一个问题就是如何确定方向。按照矢积的定义，我们根据右手法则来定义坐
标的方向。
然后，我们再考虑要描述一个系统的运动状态，究竟需要多少变量，首先对于系统的几何描述，我们
知道一个质点可以在三个方向运动，因此必须有三个变量，也就是说质点有三个自由度，那么一个包含n
个质点的系统，就需要有3n个变量来描述，这显然是非常复杂的，不过对于刚体，由于它的质点之间的相
互位置是固定的，因此3n个变量并不是相互独立的，而是可以根据约束条件消除非独立变量。实际上，刚
体的自由度只有6个，而无论组成刚体的粒子数目是多少。这样对它的运动的描述就大为简化。
进一步，对于刚体的定轴运动，我们知道它的转动轴是静止的，因此刚体没有平动，它的自由度还必
须减去3，这样描述刚体的定轴转动只需要3个位形变量。

转动动能。
然后我们再把做定轴转动的刚体看成绕分布在一根直线上的各自的圆心作圆周运动的质点的集合。从
我们前面对质点的运动的研究出发，我们不妨首先给出质点的动能：
E=mv2/2
其中v是各个质点的线运动速度。
然后我们知道动能是一个标量，那么我们可以把系统所以质点的动能都加起来，从而得到系统的总动
能：

w2
(åD2)
E=miri
2

其中是刚体的每一个质点到转轴的距离，是刚体转动的角速度。
rimi?
这就是系统的转动动能的定义。
在系统的转动动能表达式里，可以使用线速度，而实际问题里，对于转动我们更方便的测量是转动角
速度，那么我们一般是用角速度来代替线速度，这里我们可以得到一个新的物理量—转动惯量。

file://F:\00000\popular\physics_basic\3.htm5/18/2003
第三章Page2of4

转动惯量。
对于定轴转动的刚体，质点距离转轴的不同，就有不同的线速度，但是它们的角速度总是相同的。因
此我们在转动动能的表达式里是用角速度代替线速度，从我们在上面所得到的转动动能的表达式：

2
2w
(åDmiri)
E=2

可以看出，我们把括号内的部分写成I，
因此转动动能也可以写成：

1
I×w2
E=2

其中我们定义I为转动惯量。
由转动惯量的表达式，我们可以看到这个物理量和刚体的质量分布有关，而与刚体转动的速度无关。
也就是说，它描述的是刚体的在转动中表现出来的相对于过质心的转动轴的质量分布。
进一步，我们可以把转动动能的表达式和平动质点的动能表达式相比较，就可以发现某种类似性，即
转动角速度对应于平动线速度，而转动惯量类似于惯性质量，实际上从转动惯量的表达式可以看到，它的
大小与刚体非转轴的部分的质点的质量成正比，而与每一个这样的质点到转轴的距离的平方成正比。这也
是符合我们对于转动刚体的在转动中表现出来的惯性的直观。
因此我们要计算一个特定刚体的转动惯量，必须考虑它的几何形状和密度分布，然后由于它是一个和
式，对于质量连续分布的刚体，就必须应用积分的方法来求它的转动惯量。
当然，我们一般处理的刚体都是密度均匀，并且几何形状也具有一定的对称性的刚体。这样就大大简
化了我们的计算。
一般说来，我们应该通过练习来掌握一些规则形状的刚体的绕过质心的转轴的转动惯量的表达式，例
如球体，圆柱体，圆锥体，立方体等，这样能便于我们的实际应用。

力矩。
以平面上的转动为例，我们知道对于进行匀速圆周运动的粒子，只要维持其圆周运动的向心力保持不
变，在其他方向