同济大学的高等数学讲义 (2).pdf

第三单元
极限运算法则
一、本单元的内容要点

1.无穷小与无穷大的概念；
2.极限的运算法则；
3.两个重要极限
4.无穷小的阶与等价无穷小及等价无穷小的替换准则．
二、本单元的教学要求

1.理解无穷小和无穷大的概念；
2.掌握极限的运算法则
3.掌握两个重要极限并由此去计算比较复杂的极限；
4.理解无穷小阶的概念，熟记几个常用的等价无穷小并
由此去求一些复杂的极限．
三、本单元教学的重点与难点

重点
1.无穷小的概念，无穷小与极限的关系；
2.极限的运算法则，尤其是复合函数极限的运算法则；
3.两个重要极限；
4.无穷小的阶与等价无穷小的替换．
难点
1.要区别无穷小与“很小”的数的差别，注意到无穷小是
一类以零为极限的变量；
2.注意无穷大与无界函数的差别．无穷大并不是极限，
但却有明显的变化趋势，为了指出这类特殊的变化形式
才引入了无穷大的概念；
3.理解无穷小的阶的概念及本质，掌握用等价无穷小替
换方法去求某些复杂极限的方法，尤其是使用等价无穷
小替换的条件．
本单元教学时数：6课时
无穷小与无穷大

1.无穷小

定义如果x→x0(x→∞)时函数f(x)的极限为零，那么函

数f(x)就叫做x→x0(x→∞)时的无穷小．

注1.无穷小是以零为极限的变量，不能把它混同于一个
很小的数；
2.变量是否为无穷小与自变量的变化过程有关．
11
例1因limxsin=0，所以变量xsin是当x→0时
x→0xx
的无穷小量．

定理1在自变量的同一变化过程x→x0(x→∞)中，函数
f(x)有极限A的充分必要条件是f(x)=A+α，其中α是无
穷小．

证⇒：若limf(xA)=，则∀ε>0,∃δ>0,当0<|x-x0|<δ
xx→0
时，有
fx()−A<ε,
令α=f(x)−A,则，上式为
fx()−A=−f()xA−0=α−0<ε,

即，变量α是无穷小量；

⇐：若α=f(x)−A是当x→x0时的无穷小，则∀ε>0,

∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时，有
α−0(=−fx)A−0=f(x)−0<ε,

即：limf(xA)=.
xx→0
同理可讨论x→∞的情形．
2.无穷大

定义2设函数f(x)在x0的某一个空心领域中有定义(或
|x|大于某一个正数)，若对于任意给定的正数M，总存在

正数δ(或正数X)，只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(|x|>X)，对
应的函数值f(x)总满足不等式

fx()>M,

则称函数f(x)为当x→x0(x→∞)时的无穷大．记为
limfx()=∞.
x→∞
注1.记号limfx()=∞并不是表明函数f(x)当x→x0
x→∞
(x→∞)时极限存在，而仅是为了表明函数f(x)当自变量
在变化的过程中，有确定的变化趋势；
2.无穷大(∞)不是一个数．
11
例2证明lim=∞，即函数fx()=当x→1时
x→1x−1x−1
为无穷大．
111
证∀M>0，要使>M，即,x−<1,故取δ=
x−1MM
1
当0<|x-x0|<δ=，有
My
11
>M,y=
x−1x−1
1
即：lim=∞.o1x
x→1x−1
定理2在自变量的某一个变化过程中，如果f(x)为无穷
1
大，则为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且
fx()
1
f(x)≠0,则为无穷大．
fx()
证设limfx()=∞，∀ε>0，由无穷大的定义，
xx→0
∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有
1
f()xM>=,
即，ε
1
<ε,
fx()
1
即，lim=0.
xx→0fx()
1
反之，设limfx()=0,则由无穷小的定义，对ε=
xx→0M
∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时，有
1
fx()<=ε,
M

因当0<|x-x0|<δ时，f(x)≠0，从而
11
>,
fx()M
即，limfx()=0.
xx→0
类似，可证limfx()=0的情形．
xx→0
极限运算法则

利用函数极限与无穷小的关系(定理1)，我们导出如下
的极限运算法则．为了简化起见，我们以记号limf(x)
x
表示当自变量在某一个变化过程中的极限，这里变量

x可以x→x0,也可以x→∞．在相关的证明过程中，只要

把0<|x-x0|<δ改换成相应的|x|>X即可．
定理3有限个无穷小的和是无穷小．

证考虑两个无穷小的情形．

设当x→x0时，α,β是无穷小，考虑变量γ=α+β，由条

件limα=0，故对∀ε>0,∃δ1>0,当0<|x-x0|<δ1时，有
xx→0
ε
α<,
2

同理，因limβ=0，对对此ε>0,∃δ2>0,当0<|x-x0|<δ2
xx→0
时，有
ε
β<,
2
取，δ=min{δδ12,}当0<|x-x0|<δ时，有
εε
γ=αβ+≤α+β