同济大学的高等数学讲义 (9).pdf

第三单元
函数的单调性与曲线的凹凸性
一、本单元的内容要点

1.函数单调性的判别法

设f∈Ca[,b]∩D(a,b),若∀x∈(a,b),有fx′()><0(0)
则f(x)在[a,b]上是单调增加(减少)．
若当x∈I时，有fx′()≥≤0(0)，且使得fx′()=0的
点(驻点)在I的任何有界子区间内只有有限多个，则f(x)
在I上单调增加(减少)．
2.函数图形凹凸性及其判别法

⑴定义设I是一个区间，若对任意的x1,x2∈I(x1≠x2)成
立不等式

⎛⎞x12++xfx(1)fx()2⎛⎛⎞x12+xfx(1)+fx()2⎞
ff⎜⎟<>⎜⎟⎜⎟,
⎝⎠22⎝⎠⎝⎠22
则称函数f(x)(x∈I)的图形是凹(凸)弧．

⑵判别法设函数在区间上二阶可导，且fx′′()><0(0)
则f(x)的图形是凹(凸)弧．
⑶拐点曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸

性发生改变，称(x0,f(x0))为曲线的拐点．
二、本单元的教学要求

1.理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数单调性的
方法．
2.利用导数判断函数图形的凹凸性.
三、本单元教学的重点与难点

1.在讨论函数形态（单调性与凹凸性）时要注意一阶导
数和二阶导数所起的作用，并进行比较以加理解，简言
之：一阶导数的符号决定函数的单调性，二阶导数的符
号决定函数的凹凸性．
2.通常用fx′()=0的点(函数的驻点)和导数不存在的点
来划分并讨论函数的单调区间；用fx′′()=0的点和二
阶导数不存在的点来划分并讨论函数图形的凹凸区间.
本单元课时数：2-3课时．
函数的单调性

设函数f∈C[a,b]，且f∈D(a,b),如果函数y=f(x)在[a,b]
单调增加，那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线，
这时曲线上各点处的切线斜率非负，即fx′()≥0;如果函
数y=f(x)在[a,b]上单调减少，那么它的图形是一条沿x轴
正向下降的曲线，这时曲线上各点处的切线斜率非正，
即fx′()≤0．由此可见，函数的单调性与其导数的符号
有着密切的联系.
yy

y=f(x)
y=f(x)

θθ
oabxoabx
单调上升单调下降
上述关于函数单调性的图象性质，可以得到一般的结
论，即有
定理(可导函数单调的必要条件)设函数f∈C[a,b]，并且
f∈D(a,b)，若在区间[a,b]上单调增加(减少)，则对任意
的x∈(a,b)，有fx′()≥≤0(0)．
反之，可以通过导数的符号来判定函数的单调性，即
有下面的判定定理：
定理1（函数单调性的判定法）设函数f∈C[a,b],并且
f∈D(a,b)，并且,
⑴如果，∀x∈(a,b)有，fx′()>0则f(x)在[a,b]上单调
增加；
⑵如果，∀x∈(a,b)有，fx′()<0则f(x)在[a,b]上单调
减少．

证在[a,b]任取两点x1,x2,其中x1<x2，在区间[x1,x2]上
使用拉格朗日中值定理，得到

fx()21−fx()=−f′(ξ)(x2x1)
由条件，若fx′()≥0，则有f(x2)-f(x1)>0,即

fx()12<fx(),

此即说明f(x)在[a,b]上单调增加；同理可证：若
∀x∈(a,b)有，fx′()<0则f(x)在[a,b]上单调减少．
g
注如果把判定法中的闭区间换成其他各种类型的区间
(包括无穷区间)，结论也是成立的．
例1判定函数y=x-sinx在[0,2π]上的单调性．

解因yx′=−1cos>0(x∈(0,2π))，由判定定理得
函数y=x-sinx在[0,2π]上是单调增加的．
注对无穷区间，相应的定理为
定理1′若当x∈(-∞,+∞)时，有fx′()≥≤0(0)，且使
得的fx′()=0点(驻点)在(-∞,+∞)的任何有界子区间内
只有有限多个，则f(x)在(-∞,+∞)上单调增加(减少)．

由此得到，函数y=x-sinx在(-∞,+∞)上是单调增加
的．
有些函数在它的整个定义区间上不是单调的，对于在
定义区间上具有连续导数的函数，用函数的驻点来划分
定义区间后，则函数在各个部分区间上是单调的．
例2讨论函数f()xe=x−−x1的单调性．
解函数f()xe=x−−x1的定义域为(-∞,+∞)，并且
fx′()=ex−1,
令fx′()=0⇒x=0,且当
2
x∈(-∞,0)时，fx′()<0，当fx()=−exx−1
1.5
x∈(0,+∞)时，′，即
fx()>01

f(x)在(-∞,0)内单调下降，0.5
在(0,+∞)内单调上升．
-2-112
如果函数在定义区间内某些点处不可导，那么在划分
定义区间时，分点还应包括这些导数不存在的点．
1
例3确定函数fx()=−(x1)x3的单调区间．

解f