同济大学的高等数学讲义 (3).pdf

第四单元连续函数
本单元教学内容

连续函数的定义；间断点及分类；连续函数的运算及
初等函数的连续性；闭区间连续函数的性质．
本单元教学要求

理解连续函数的意义及判定方法；理解间断点的意义
及间断点分类方法——求左右极限；熟练运用闭区间上
连续函数的性质去证明某些问题．
本单元教学重点与难点

重点：连续函数的定义及几何意义；函数连续的探讨方
法；间断点的定义及间断点的分类方法；闭区间上连续
函数的性质．

难点：间断点的分类；闭区间上连续函数的性质．

教学时数：6课时．
一、连续函数

在讨论函数极限中，我们看到函数在某一点是否存
在极限与函数在该点是否有定义无关；与该点的函数
值无关．但很多情况下，函数在一点的极限值与函数
在这一点的函数值是密切相关的．本节将讨论具有这
种特性的函数——连续函数．
1.函数在一点的连续性

自然界中的很多现象都是连续变化的．例如气温的变
化就是一个很明显的例子．所谓的连续变化指的是：当
时间变化很小时，气温的变化也很小．具体地说，若以
Tt()表示时刻t时的温度，当时间变化很小时，即∆t
很小时，温度的变化Tt()+∆−tT(t)也很小．这就是
连续函数的本质特征．
定义设函数yf=()x在点x0的某一领域内有定义，

若limfx()存在，且等于fx()0，即
xx→0
limfx()=fx(0),
xx→0

则称函数fx()在点x0是连续的，此时又称点x0是函
数yf=()x的连续点．
分析：由极限的定义，对任意给定的正数ε，总存在
正数δ，对于适合不等式

xx−0<δ
的一切x，所对应的函数值fx()都有

fx()−fx(0)<ε.

函数在点连续的几何意义：记
f()xx0∆xx=−x0,

则xx=+0∆x,
y
∆=yf()x−f(x0)
y=f(x)
=+fx()00∆x−f(x),∆y

xx→0,即∆x→0,则连续性
的含义为
∆→xy0,⇒∆→0.o∆xx
2.单侧连续函数

若函数f()x在点x0处的单侧极限存在且等于该点的
函数值，则称函数在该点是单侧连续的．即若
fx()0

limfx()=fx(0),
xx→−00

则称函数在点x0是左连续的；相仿，若

limfx()=fx(0),
xx→+00

则称函数在点x0是右连续的．
⎧xx+1>1
例1设函数fx()=⎨,则函数在x=1处
⎩xx−1≤1
是左连续而非右连续的．fx()的图形如图所示．

y
定理：函数fx()在点x0处连续的

充分必要条件是函数fx()在该点fx()
既是左连续又是右连续．
ox
3.区间上的连续函数

在区间上每一点都连续的函数称为区间上的连续函数．
当点是区间的端点时，相应的连续为单侧连续．即若
fx()是区间[a,b]上的函数，fx()在(a,b)上连续，且fx()
在x=a处是右连续、在x=b处是左连续的．
例2证明yx=sin(x∈−(∞,+∞))是连续函数．
证设x是区间(−∞+,∞)内的任意一点，给x以增量
∆x，相应函数的增量为
∆∆xx⎛⎞
∆=yxsin()+∆x−sinx=2sincos⎜⎟x+,
22⎝⎠
因，cosx≤1故
∆∆xx⎛⎞∆x∆x
∆yx=+2sincos⎜⎟≤2sin≤2=∆x,
22⎝⎠22
故当∆→x0,有∆y→0,
由此证明了函数yx=sin在区间(−∞+,∞)上的连续性．

注若fx()是区间I上的连续函数，则记为fC∈()I.
即：
CI()={ff为I上的连续函数}.
3.函数的间断点

设函数fx()在x0的某去心领域中有定义，若x0不是

fx()的连续点，则称x0是fx()的间断点．
间断点的类型：

⑴fx()在x0处无定义；
⑵在处有定义，但不存在；
fx()x0limfx()
xx→0
⑶fx()在x0处有定义且limfx()存在，但
xx→0

limfx()≠fx(0).
xx→0
ex−1
例3设函数fx()=，则函数在x=0处不连续，但
x
若重新定义
⎧ex−1
⎪x≠0
fx()=⎨x,
⎪
⎩1x=0
则函数fx()为整个定义域上的连续函数．
⎧x2−1
⎪x≠1
⎪x−1
例4设函数fx()=⎨，则函数在x=1处不
1
⎪x=0
⎩⎪2
连续，但若重新定义
⎧x2−1
⎪x≠1
fx()=⎨x−1,
⎪
⎩2x=0
则函数fx()为整个定义域上的连续函数．
在例3和例4中可以看到，这两个函数的共同特征为：
函数在该点的极限存在，但函数在该点不连续．数学上
把这一类间断点称为可去间断点．
⎧xx2+1<0
例5设函数fx()=⎨，
⎩xx−1≥0
则当x→0时，有
limfx()=limx2+=11,
xx→−00→−()
limfx()=lim(x−