同济大学的高等数学讲义 (11).pdf

第一单元
不定积分的概念与性质基本积分法
本单元内容要点

原函数的概念,不定积分的概念与基本性质,基本积分
公式,第一类换元积分法,第二类换元积分法.分部积分法.
本单元教学要求

1.理解原函数的概念,理解不定积分的概念,掌握不定积分
的基本性质.
2.掌握不定积分的基本公式,掌握换元积分法与分部积分
法.
本单元教学的重点与难点

重点:不定积分的基本公式,换元积分法与分部积分法.
难点:第一类换元积分法(凑微分法)

课时数:8学时.
一、不定积分的概念与性质

1.原函数
在第二章中曾提出已知F()x求F′()xf=()x的求导
问题，而现在的问题是fx()已知,求满足F′()xf=()x的
F()x．这类问题就是求原函数．
定义1如果在区间I上的可导函数F()x的导函数为
fx()，即对任一xI∈，都有
Fx′()==f(xd)((或Fx)f(xd)x),
则称函数F()x为fx()在区间I上的一个原函数．

例1函数sinx的一个原函数为−cosx，这是因为
()−=cosxx′sin.
又如，′1
⎡⎤lnxx++12=,
⎣⎦⎢⎥()1+x2
1
故，的原函数为lnxx++12.
1+x2()

我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函
数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢？为此，
先引入：
原函数存在定理如果函数fx()在区间I上连续,则在区
间I上存在可导函数F()x，使得对任一xI∈，都有
F′()xf=()x,
即连续函数一定有原函数存在．
唯一性定理如果F()x是fx()的原函数,则F()xC+
也是fx()的原函数.其中C为任意常数；并且fx()的
原函数一定可写成F()xC+的形式．
2.不定积分

由上面的讨论，可得到如下定义：

定义2在区间I上，函数fx()的带有任意常数的原函数
称为fx()在区间I上的原函数，记作
∫fx()dx.
即∫fx()dx=F(x)+C，其中F()x是fx()的原函数
例2由定义，不难得到下面的：

32′213
()xxx=⇒3,dx=x+C,
∫3
′11
()lnxd=⇒,x=lnxdx+C,
xx∫
′
()sinxx=⇒cos,∫cosxdx=sinx+C,
11
()arctanxd′=,⇒=xarctanx+C.
11+xx22∫+
注1在不定积分表达式中最后的常数不能漏掉，否
则意义将完全改变；
2定义在区间I上的连续函数一定存在原函数，但其原
函数比一定能用初等函数来表示；例如函数

x2
fx()=e(x∈−()∞,+∞)
为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示；
3在区间I内存在原函数的函数不一定是连续函数，
例如函数：
⎧11
⎪2xxsin-cos≠0
fx()=⎨xx,
⎩⎪0x=0
存在间断点x=0，但fx()在(−∞,+∞)存在原函数
⎧1
⎪xx2sin≠0
Fx()=⎨x.
⎩⎪0x=0
例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等
于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．

解设此曲线的方程为yf=()x,由题设得关系
dy
=2,x
dx
即，fx()是2x的一个原函数，因∫2,xdx=x2+C且曲
线过(1,2),代入曲线方程得C=1,故所求曲线的方程为
yx=2+1.
对例3的说明：函数fx()的原函数的图形称为fx()积分
曲线．当常数C取不同值时，曲线为平行曲线．因而
通过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线．

5

4

3

2

1

-1-0.50.511.52
3.基本积分公式
µ+1
µx
(10)dxC=.()2dxx=+≠C()µ−1.
∫∫µ+1
dxdx
()3l=+nxC()4a=rctanxC+.
∫x∫1+x2
dx
()5a=rcsinxC+.(6c)osxxd=sinx+C.
∫2∫
1−x
2
(7s)∫inxxd=−+cosxC.(8)∫secxxd=tanx+C.

2
(9c)∫scxxd=−+cotxC.(10)∫secxxtandx=secx+C.
(11)∫exxdxC=e+.(12)∫cscxxcotdx=−+cscxC.
ax
()13axxd=+C.(14)sinhxxd=coshx+C.
∫lna∫
(15)∫coshxxd=sinhx+C.
4.不定积分的性质
d
性质1⎡⎤f()xdx==f()x,f′()xdxf()xdx.
dx⎣⎦∫∫

性质2设函数fx()及gx()的原函数存在，则

∫∫⎣⎦⎡⎤αβf(x)+=g(xd)xαf(xd)x+β∫g(xd)x,
其中α,β为任意常数．
5.积分举例：
3
()x−1
例1求积分d.x
∫x2
3
解先将()x−1展开，然后再利用积分公式及运算法则