同济大学的高等数学讲义 (8).pdf

第二单元
洛必达法则与泰勒公式
一、本单元的内容要点
0∞
1.用洛必达法则求与型的极限；
0∞
2.泰勒中值定理

3.泰勒公式与麦克劳林公式、拉格朗日型余项及佩亚诺
型余项.
二、本单元的教学要求

1.会用洛必达法则求未定式极限，其中
0∞
⑴对0·∞，∞±∞型未定式，可通过变换化为型或型；
0∞
0∞
⑵对00，1∞等幂指型未定式，可取对数化为或
型．0∞
2.理解泰勒中值定理，并会用泰勒定理证明一些相关的
命题．
三、本单元教学的重点与难点
0∞
1.用洛必达法则式求型与型未定式极限，是求极限
0∞
的一种特殊方法，并非一般方法.．尤其注意，只有满
fx′()fx′()
足条件——lim存在或为∞(这时称lim有
xa→F′()xxa→F′()x
确定意义)，用洛必达法则求得的极限才是正确的.

2.要正确理解：洛必达法则的条件是未定式存在极限的
fx′()
充分而非必要条件，换言之，当lim不存在或也
fx()xa→F′()x
不为∞时，lim仍然可能是确定的．
xa→F()x
0∞
3.应注意，洛必达法则不是求型与型未定式的唯
0∞
一方法.读者在计算时应该结合等价无穷小的替换、带有
佩亚诺余项余项的泰勒公式等方法，以使计算简便、准
确．

4.要懂得泰勒中值定理是罗尔中值定理与拉格朗日中值
定理的进一步的推广，即拉格朗日中值定理是泰勒中值

定理当n=0时的特例；并懂得函数在一点x0的泰勒多项

式是该函数在x0附近的近似表达式，比起函数的一次近
似，高阶泰勒多项式有更好的近似精度．
5.要学生记住以下初等函数的带有佩亚诺型余项的麦克
劳林公式：
11
exxn=+1(+x2++x+oxn);
2!n!
11(−1)m−1
sinxx=−x3+x5−+x21mm−−+o(x21);
3!5!(2m−1)!
11(−1)m
cosxx=−124+x−+x2mm+o(x2);
2!4!(2m)!
11(−1)n−1
ln(1+=xx)−x23+x−+xnn+o(x);
23n

α(1αα−)(α−−1)(αn+1)
(1+=xx)α1+α+x2++xn
2!n!
+ox(n);

特别

1
=+1(xx+2++xnn+ox).
1−x
本单元课时数：4课时．
洛必达法则

如果当x→a(或x→∞)时，函数f(x)与F(x)都趋于零或
f()x
都趋于无穷大，那么极限lim可能存在，也可能不
xa→
()x→∞Fx()
存在.通常称这种类型的极限为未定式，为了叙述方便，
0∞
习惯上用记号或来表示这两种类型的未定式.在
0∞
本节中，我们将利用柯西中值定理得出求这些类型极限
的一种简便而重要的方法，并着重讨论x→a时的未定式
0
的情形．
0
定理1设f(x),F(x)在点a的某去心领域内可导，Fx′()≠0
并且满足条件：
⑴limfx()=limF(x)=0;
xa→→xa
fx′()
⑵极限lim或为∞,
xa→Fx′()
fx()
那么,极限lim存在，并且
xa→Fx()
f()xf′()x
lim=lim.
xa→→Fx()xaF′()x
证因极限存在与否与函数在该点的函数值无关，故可
设f(a)=F(a)=0，则由条件知f(x),F(x)在区间[a,x]([x,a])
满足柯西中值定理的条件，即有
fx()fx()−f(a)f′(ξ)
==(ξ在x与a之间),
Fx()Fx()−F(a)F′(ξ)
fx′()
令x→a，则ξ→a，又因极限lim存在，即得
xa→Fx′()
f()xf′()x
lim=lim.
xa→→Fx()xaF′()x
g
xx3−+32
例1求．lim
x→1xx32−−+x1

解当x→1时，分子和分母的极限均为零，故由洛必达
法则，得
xx32−+323x−36x3
lim=lim==lim.
xx→→11xx32−−x+13x2−2x−1x→16x−22

注在用洛必达法则求极限的过程中，可能要多次使用
洛必达法则，才能最终求出极限．
eexx−−−2x
例2求．lim.
x→0xx−sin
解
eex−−−xx22xe+e−−x−ex−ex
lim==limlim
xx→→00xx−−sin1cosxx→0sinx
eexx+−
==lim−2.
x→0−cosx
注我们指出，如果把极限过程换成x→a+或x→a-或
fx()0
x→+∞或x→+∞或x→∞，只要lim是型的，并且
F()x
fx′()0
极限lim存在(或为无穷大)，则仍然有
F′()x
fx()f′()x
lim=lim
F()xF′()x

这里不再一一证明．
11
例3求arctan−arctan
limxx+1.
x→∞11
−
xx+1
−11
解11