同济大学的高等数学讲义(0).pdf

第一单元映射与函数
一、本单元的基本要点

1.集合的一般概念：集合的表示法；集合的基本运算；
常见的几类实数集合；区间、邻域、去心邻域、平面上
矩形区域的乘积表示法．

2.映射的概念及满射、单射、一一映射、逆映射和复合
映射．
3.函数的概念；函数的几种特性、反函数和复合函数、
反函数存在的一个充分条件．

4.函数的四则运算；初等函数；双曲函数．
二、本单元的教学要求

1.理解函数概念及函数的几种特性：有界性、单调性、
奇偶性、周期性．

2.理解复合函数的概念，了解反函数的概念．

3.掌握基本初等函数的性质及图形，理解初等函数的概
念．
4.会建立简单实际问题中的函数关系式．
三、本单元教学的重点与难点

1.重点：函数的几种特性、复合函数、初等函数；

2.难点：几类映射的概念；

3.课时安排：2~4课时(若讲微积分简介作为本课程的引
言，则需4课时)．
引言何谓微积分

微积分：以变量为研究对象，以极限方法为基本研究对
象的教学学科．

初等数学向微积分的发展：自然界中有很多量仅靠有限
次的基本算术运算是无法计算出来(或确定下来)的，而
必须分析一个变化过程的变化趋势才能求出来(或确定
下来)．
典型问题一曲边图形的面积计算

极限概念的起源可追溯到2500年前的古希腊．那时的
希腊人为计算由曲线围成的平面图形而引用了极限的思
想．而阿基米德是杰出代表．
y
2
我们以阿基米德曾经计算过的y=x
一个问题来说明这种方法．

如图，曲线y=x2,与x轴、直
线x=1围成平面图形，求此曲

12n−1
1
边三角形的面积．onnnx
12n−1
在区间[0,1]中插入n-1个分点,,,,小区间的高
2nnn
⎛⎞i
度为⎜⎟，从而小矩形的面积之和为
⎝⎠n

222
⎛⎞11⎛⎞21⎛n−1⎞1
Sn=+⎜⎟⎜⎟++⎜⎟
⎝⎠nn⎝⎠nn⎝n⎠n
y
1222y=x2
=+⎡⎤12+()n−1
n3⎣⎦
1()nn−−12(n1)
=
n36
11⎛⎞⎛1⎞
=−⎜⎟1⎜2−⎟,
12n−1
6⎝⎠nn⎝⎠1
onnnx
当n→∞时，从几何上看，矩形将填满(“穷竭”)曲边三
1
角形，从代数上看，S→，因此认为曲边三角形的
n6
面积
1
SS==limn.
6n→∞
割圆术：

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
我国魏晋时代的数学家刘徽
用圆的内接正多边形来逼近圆
的方法——割圆术，来计算圆
周率π的值．
若以Sn表示正圆内正6×n边形的面积，则有

SS12≤≤≤Sn≤

且，当n→∞时，正多边形的面积与圆的面积“充分”接
近，即有

SS=limn.
n→∞
注用极限方法于曲边图形面积
的计算(微小量的无穷累计问题)
产生了积分学．
典型问题二自由落体瞬时速度的计算

速度用于刻画运动质点在各时刻运动“快慢”的程度．

设质点沿直线OS运动，位移函数s=s(t)．

情形Ⅰ匀速直线运动:
路程
=常数匀速运动
时间

即，若在时刻t1及t2时，质点的位置分别为s(t1),s(t2),则
质点的运动速度为
st()−st()
vC=21=.
tt21−
情形Ⅱ变速直线运动：

在时刻区间[t1,t2]中，质点从s(t1)运动到s(t2)，平均速
度为
s()ts−(t)
v=21.
tt21−s(t1)s(t2)s
则，在时刻t1的瞬时速度为
s()ts−(t)
vv==limlim21.
tt→→tt
2121tt21−
1
例如，对自由落体运动，位移函数为s()tg=t2，求
2
时刻t=2时的速度．在[2，t]内的平均速度为
st()−s(2)gt22−2g
vt===()+2,
tt−22−22
g
当t→2时，v→()22+=2g．
2
注用极限方法用于计算瞬时速度等变化率问题产生了
数学上的一个重要分支——微分学．

微分学与积分学的内在联系

17世纪，牛顿，莱布尼茨分别建立了微分与积分之间
的联系——微积分基本公式．从而微分学与积分学形成
了一个整体——微积分学．它是解决科学技术问题的重
要数学工具，也是工科学生最重要的数学基础课；大学
生素质培养(思维素质)的重要载体．
集合
1.集合的概念、记号、表示法

集合所谓集合是指具有某种特定性质的事物的全
体，组成该集合的事物的全体称为集合的元素．

通常用大写的拉丁字母A,B,C,…,表示集合，用小

写的拉丁字母a,b,c,…,表示集合中的元素．如果a是
集合A中的元素，则记为a∈A,否则记为a∉A．含有有
限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集．
集合的表示法

⑴列举法将集合中的元素按一定的次序罗列出来．

A={aa12,,,an}有限集