南京航空航天大学《高等数学》82偏导数.pdf

偏导数的定义及其计算法

高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法

定义数设函z=(,)fxy在点(,)x0y0的某一

当，定义有内邻域y在固定y0而x在x0处有增
量Δx有增量数函时，相应地

(,)(,)fx0+Δxy0−fx0y0，
(,)(,)fx+Δxy−fxy
如果lim0000存在，则
Δx→0Δx

数称此极限为函z=(,)fxy在点(,)x0y0处对
x为的偏导数，记
∂z∂f
x=x
，，zx0或f(,)xx00y.
∂xx=x0∂xx=x0y=y0
y=y0y=y0

同理可定义函数z=(,)fxy在点(,)x0y0处对y
为的偏导数，
(,)(,)fxy+Δy−fxy
lim0000
Δy→0Δy
∂z∂f
为记，，zyx=x0或f(,)y0xy0.
∂yx=x0∂yx=x0y=y0
y=y0y=y0
如果函数z=f(,)x在区域yD内任一点(,)xy
处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、
y的函数，它就称为函数z=f(,)x对自变量yx的
偏导函数，
∂z∂f
记作，，z或f(,)xy.
∂x∂xxx

同理可以定义函数z=f(,)x对自变量yy的
∂z∂f
偏导函数，记作，，z或f(,)xy.
∂y∂yyy
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
处u=(,,)fxyz如在(,,)xyz
(,,)(,,)fx+Δxyz−fxyz
(f,xx,y)=zlim,
Δx→0Δx
(,,)(,,)fxy+Δyz−fxyz
(f,yx,y)=zlim,
Δy→0Δy

(,,)(,,)fxyz+Δz−fxyz
(f,zx,y)=zlim.
Δz→0Δz
例1z求x=2+3xy+2在点(y1,2处的偏导数．)
∂z∂z
解=2x+3y;=3x+2y.
∂x∂y
∂z
∴2x=1=1×+3×=28,
∂xy=2
∂z
3x=1=1×+2×=27.
∂yy=2

注：计算函数在一点处的偏导数，通常先求偏导函数，
然后再把点带入。
例2设z=(xyx>0,x≠1，)
x∂z1∂z
求证+=2z.
y∂xlnx∂y
∂z∂z
证=yxy−1,=xylnx,
∂x∂y
x∂z1∂zx1
+=yxy−1+xylnx
y∂xlnx∂yylnx

=xy+xy=2z.原结论成立．
x∂z∂z
例3设z=arcsin，求，.
x2+y2∂x∂y
∂z1⎛x⎞′
解=⋅⎜⎟
∂xx2⎜x2+y2⎟
1−⎝⎠x
x2+y2

222
x+yy2
=⋅(y=|y|)
|y|()x2+y23
|y|
=.
x2+y2
∂z1⎛x⎞′
=⋅⎜⎟
∂yx2⎜x2+y2⎟
1−⎝⎠y
x2+y2

x2+y2()−xy
=⋅
|y|()x2+y23
x1
=−sgn(y≠0)
x2+y2y
∂z
不存在．
∂yx≠0
y=0
例4已知理想气体的状态方程pV=RT
∂p∂V∂T
（R，求证：为常数）⋅⋅=−1.
∂V∂T∂p
RT∂pRT
证=p⇒=−;
V∂VV2
RT∂VRpV∂TV
V=⇒=;=T⇒=;
p∂TpR∂pR
∂p∂V∂TRTRVRT
⋅⋅=−⋅⋅=−=−1.
∂V∂T∂pV2pRpV
有关偏导数的几点说明：
∂u
１、偏导数是一个整体记号，不能拆分;
∂x
dy
导数dx可以看成是dy与dx之商;
例如,设z=xy
∂z∂xz∂y1∂z∂x∂y
=y=−==1−.
∂x∂yy2∂zx∂x∂y∂z
∂z∂z∂x∂y
若理解为∂z∂x,=1.
∂x∂x∂y∂z
２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义
求；

,例如z(,设f)=xy,=(xy求0x,0f),y(f0,0).

解|x0⋅|−0
(0f,x0)=lim=0=(f0y,0).
x→0x

⎧22122
x⎪+y(+x)+ysin22x+y≠0
练习：求f(,)xy=⎨x+y
⎪22
⎩0x+y=0
∂f∂f
的偏导数,.
∂x∂y
⎧12x122
∂f1⎪+2xsin22−2cos222x+y≠0
=⎨x+yx+yx+y
∂x⎪22
⎩1x+y=0

⎧12y122
∂f1⎪+2ysin22−2cos222x+y≠0
=⎨x+yx+yx+y
∂y⎪22
⎩1x+y=0
３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续，
多元函数中在某点偏导数存在连续，

⎧xy22
⎪22,x+y≠0
例如,函数f(,)xy=⎨x+y,
⎪22
⎩0,x+y=0

依定义知在(0(0,0),0处，)fx=fy(0,0)=.0

但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.
4、偏导数的几何意义
z⎧=f(x,)y
f(,):xx0y0就是C⎨M在0()x0,,0y处0z
⎩y=y0
的切线斜率tanα−α(−切线与x轴正向所成的角)
如图