南京航空航天大学《高等数学》25高阶导数.pdf

第五节高阶导数

高阶导数的定义
高阶导数求法举例
一、高阶导数的定义

问题:变速直线运动的加速度.
设s=(f),t则瞬时速度为v()()t=f′t
∵加速度a是速度v对时间的变化率t
()()[()].∴at=v′t=f′t′
定义如果函数f()()x的导数f′x在点处可导x,即
f()()x′+Δx−′fx
((f′′)x)=lim
Δx→0Δx
存在,(())()f则称x′′为函数fx在点处的二阶导数x.
d2yd2f()x
记作f′′′′(x),y,或.
dx2dx2
d3y
二阶导数的导数称为三阶导数,f′′′′′′(x),y,.
dx3
d4y
三阶导数的导数称为四阶导数,f((4)x),(4y),.
dx4
一般地,函数f(x)的−n阶导数的导数称为1
函数f()x的阶导数n,记作
dnydnf()x
f()(nx),()ny,或.
dxndxn
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地,()fx称为零阶导数;()f′x称为一阶导数.
二、高阶导数求法举例

1.直接法:由高阶导数的定义逐阶求高阶导数.
例1arctan设y=x,求′f′(0′′′f),(0).
1′−2x
′⎛1⎞
解y=2y′′=⎜⎟=22
1+x⎝1+x2⎠(1+x)
′
⎛−2x⎞2(3x2−1)
′′′y=⎜⎟=
⎜22⎟23
(⎝1+x)⎠(1+x)
−2x2
′′2(3x−1)
∴f(0=)22x=0=0;f′′′(0=)=−2.
(1+x)(1+x23)x=0
例2y设=x(αα∈R),求()ny.
解y=′αxα−1

y′′=()αxα−1′=(αα−1x)α−2

′′′y(=(αα−1x)α−2′(=)αα1−)(α−x2α−3)

(y()n=α1α)−(αn−+1x)α−n≥n(1)

若α为自然数n,则
y()n=()nx()n=n!,y(n+1)=(!)n′=0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)

例3设yln(=1+x求),()ny.
11
解y′=y′′=−
1+x(1+x2)
2!
′′′(4)3!
y=3y=−
(1+x)(1+x4)

(n−1)!
y()n=(−1n−)1(1n≥,0!=1)
(1+xn)
例4设y=sinx求,()ny.
π
解y′=cosx=sin(x+)
2
ππππ
y′′=cos(x+)=sin(x++=)sin(x+2)⋅
2222
ππ
y′′′=cos(x+=2)⋅sin(x+3)⋅
22

π
y()n=sin(x+n)⋅
2
π
同理可得(cosx)()n=xcos(+n)⋅
2
例5y设e=sinaxbx(,a为常数b求),y()n.

y解ae′=axsinbx+axbecosbx
e=a(axsinbx+cosb)bx
b
e=ax⋅asin(2b+2+)ϕbx(ϕ=arctan)
a
ya′′=b[2+ae2sin(⋅ax+bxϕ)+axbecos(+ϕbx)]

=ab2+e2⋅ax⋅a2sin(+2b+bxϕ2)

nb
y(()an=2b+)22eax⋅sin(+bx(ϕ)nϕ=arctan)
a
2.高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有阶导数n,则
(1u)(±v()()()n)=un±nv
(2Cu)(()()n)=Cun
n(n−1)
(u3v)⋅(()()n=u)nv+(nnu−1)′+vu(n−2)′′v
2!
n(n−1)(n−k+1)
+u()()n−kv+k+uv()n
k!
n
k()()n−kk莱布尼兹公式
=∑Cnuv
k=0
例6y设=x2e2x,.求(20y)
解u设=e2x,,v=2则由莱布尼兹公式知x
y(20)=e()2x(20⋅x)20+22(xe(19)⋅)(′2x)
20(20−1)
+(2e)x(18⋅()x′′)2+0
2!
=220e2x⋅x20+2⋅192ex2⋅x2
20⋅19
+218ex2⋅2
2!
2=20e(2xx+220+x95)
关于莱布尼兹公式，应该注意：

n
()nk()()n−kk
u()()(x⋅v)x=∑Cnuv
k=0

k
(1不要丢了系数)Cn；

(2恰当地选择)u()()x和vx，
[求导最快为0的为v(x)]
3.间接法:利用已知的高阶导数公式,通过四则
运算,变量代换等方法,求出n阶导数.
常用高阶导数公式
(1)(ax)()n=ax⋅lnna>(a0()ex)()n=ex
π
(2)kx(sin()n=k)nsin(kx+⋅)n
2
π
(3)kx(cos()n=k)ncos(kx+⋅)n
2
(4)()xα()n=α(α−1)(α−