南京航空航天大学《高等数学》87方向导数与梯度.pdf

问题的提出

方向导数的定义

梯度的概念
一、问题的提出

实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐
标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点
处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上
任意一点处的温度与该点到原点的距离成反
比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿
什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方
向（即负梯度方向）爬行．
二、方向导数的定义
1.定义
讨论函数z=(,)fxy在一点P沿某一方向
的变化率问题．
yl
设函数z=f(,)x在点y
•P′
P(,)x的某一邻域yUP()
Δy

内有定义，自点P引射线．lϕ

••
PΔx
设x轴正向到射线l的转角
ox
为ϕ,(,)并设P+x′Δxy+Δy
为l上的另一点且P′∈U().p（如图）
∵|PP′==|ρ()(),Δx2+y2Δ
且Δz(=fx+Δ,xy+Δ)y−f(xy,),
Δz
考虑，,时P于′l趋P着当沿
ρ
fx(,)(,)+xΔy+Δy−fxy
若lim存在
ρ→0ρ
定义这极限为函数在点P沿方向l的方向导数

∂f(,)(,)fx+Δxy+Δy−fxy
记为=lim.
∂lρ→0ρ
∂f(,)(,)fx+Δxy+Δy−fxy
注1=lim.
∂lρ→0ρ

yxf∂+)y+,yΔ(−Δ(,)xxff
若则>>0,0
∂lρ

f即(x+x,Δy+Δ)y−(f,x>)y0

则f(,)x的函数值沿着方向yl增加.
注2

由定义知，当fMxy()00、fM()存在时,
∂f
===fM()当时l{1,0}i
Mx00
∂lϕ=0。
∂f
===fM()当时l{0,1}j
∂lMy00
ϕ=90。
∂f
=−fM()当时l={1,0}−=−i
∂lMx00
ϕ=180。
∂f
=−fM()当时l={0,1}−=−j
∂lMy00
ϕ=270。
2.方向导数的存在性与计算
定理z设f(,)(,),=xy在点M处可微xy
→
那么函数在该点沿任意方向l的方向
导数都存在,且有
∂f∂f∂f
=cosϕ+sinϕ(1)
∂l∂x∂y

ϕ−−x轴到方向l的转角.

故{cosl=ϕ,sinϕ}
证明由于函数可微，则增量可表示为
∂f∂f
fx+(,)(,)Δxy+Δy−fxΔyx=+Δy+()oρ
∂x∂y
两边同除以ρ,得到
(,)(,)fx+Δxy+Δy−fxy∂fΔx∂fΔyo(ρ)
=⋅+⋅+
ρ∂xρ∂yρρ

故有方向导数cosϕsinϕ
∂f(,)(,)fx+Δxy+Δy−fxy
=lim
∂lρ→0ρ
∂f∂f
=cosϕ+sinϕ.
∂x∂y
π∂z
例1z设=x2,y的极角为l，求
6∂l)1,1(
2
解∵zx=)1,1(2xy)1,1(=2z,y=)1,1(x)1,1(=1
∴由公式（1）得
∂zππ
=zcos+zsin
(1∂l,1)x(1,16)y)1,1(6
31
=2⋅+2.≈232
22
∂z
由于>,0∴z=x2在点y)1,1(沿l方向
∂l)1,1(
∂z
是增加的，其增长率即为
∂l)1,1(
22
例2求函数fx(,)y=x−+xy在点（y1，1）
沿与x轴方向夹角为α的方向射线l的方向导数.并
问在怎样的方向上此方向导数有
（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？

解由方向导数的计算公式知
∂f
(1,1=)fxcosα+fy(1,α1)sin
∂(l1,1)

(2=)x−(y1cos,1)α+(y2−(x1,1))αsin,
π
=cosα+sinα=2sin(α+),
4
π
故（1）当α=时，到最大值方向导数达2;
4
5π
（2）当α=时，到最小值方向导数达−2;
4
3π7π
（3）当α=和α=时，于方向导数等0.
44
例3z设=sin(xy+2x+),在点y(0沿,0)

方向{l=1,2的方向导数。}

解z∵(x0=,0y)cos(+x+2(0y,)0)=1,

z(y0=,20x)+cos(x+(20y,0))=2
∴由公式（1）得
∂z12
=z+z
(∂0l,0)x(0,50)(y0,0)5
12
=⋅1+2⋅5=
55
3.推广可得三元函数方向导数的定义

函数三元对于u=(,,)fxyz，它在空间一点
(,,)Pxyz方向沿着l的方向导数，可定义

为
∂f(,,)(,,)fx+Δxy+Δyz+Δz−fxyz
=lim,
∂lρ→0ρ

（=其中ρ()()()Δx+2Δy2+2z）Δ
向设方l的方向角为α,,βγ

Δx=ρcosα,Δy=ρcosβ,Δz=ρcosγ,

该点数在函末那时，可微此点在函数：当同理

向意方沿任l的方向导数都存在，且有

∂f