量子力学课后习题.doc

绪论
在0K附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。
氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布洛意波长。
利用玻尔-索末菲的量子化条件，求
一维谐振子的能量；
在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
波函数和薛定谔方程
证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。
由下列两定态波函数计算几率流密度:
（1），（2）
求粒子在一维无限深势阱中运动的能级和波函数。
证明（2.6-14）式中的归一化常数是
求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。
试求算符的本征函数。
如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。

量子力学中的力学量
1.一维线性谐振子处于基态，求:
（1）势能的平均值；
（2）动能的平均值；
（3）动量的几率分布函数。
2.氢原子处于基态，求：
（1）r的平均值；
（2）势能的平均值；
（3）最可几半径；
（4）动能的平均值；
（5）动量的几率分布函数。
3.一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
（1）转子绕一固定轴转动；
（2）转子绕一固定点转动。
4.一维运动的粒子的状态是
其中，求
（1）粒子动量的几率分布函数；
（2）粒子的平均动量。
5.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。
6.设氢原子处于状态

求氢原子的能量，角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
7已知和是二个厄密算符，试证明：
也是厄密算符
（2）也是厄密算符
8.令和，试证明
（1）[]=；（2）[]=
第四章态和力学量的表象
1.求动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。
2.求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
3.求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
5.设已知在和表象中，算符和和矩阵分别为
，
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。
6．设厄米算符，满足，,求在表象中，算符和的矩阵表示。
第五章微扰理论
1.如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷分布均匀的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
2.设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01和E02，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为，；a，b都是实数。用微扰公式求其能量至二级修正。
3.有一粒子，其Hamilton量的矩阵形式为：，其中

求能级的一级近似和波函数的0级近似。
4.在某一选定的一组正交基下哈米顿算符由下列矩阵给出

（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；
（2）求H的精确本征值；
（3）在怎样条件下，上面二结果一致。
5.求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
第七章自旋与全同粒子
1.求证：。
2.在本征态下，求
3.在表象中，求和的本征值和所属的本征函数。
4.求自旋角动量在方向的投影

的本征值和所属的本征函数。
5.设氢原子状态是

（1）求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；
（2）求总磁矩（SI）
的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。
一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色
子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
7.证明，，和组成正交归一系。
8.设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。