量子力学课后习题答案.doc

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比即T=b（常量）；并近似计算b的数值准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式（1）以及（2）（3）有这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时取得极大值因此就得要求对λ的一阶导数为零由此可求得相应的λ的值记作。但要注意的是还需要验证对λ的二阶导数在处的取值是否小于零如果小于零那么前面求得的就是要求的具体如下：如果令x=则上述方程为这是一个超越方程。首先易知此方程有解：x=0但经过验证此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97经过验证此解正是所要求的这样则有把x以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。据此我们知识物体温度升高的话辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。1．2在0K附近钠的价电子能量约为3eV求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系可知E=hv如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（）那么如果我们考察的是相对性的光子那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV远远小于电子的质量与光速平方的乘积即因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式这样便有在这里利用了以及最后对作一点讨论从上式可以看出当粒子的质量越大时这个粒子的波长就越短因而这个粒子的波动性较弱而粒子性较强；同样的当粒子的动能越大时这个粒子的波长就越短因而这个粒子的波动性较弱而粒子性较强由于宏观世界的物体质量普遍很大因而波动性极弱显现出来的都是粒子性这种波粒二象性从某种子意义来说只有在微观世界才能显现。1．3氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数）求T=1K时氦原子的德布罗意波长。解根据知本题的氦原子的动能为显然远远小于这样便有这里利用了最后再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论由某种粒子构成的温度为T的体系其中粒子的平均动能的数量级为kT这样其相庆的德布罗意波长就为据此可知当体系的温度越低相应的德布罗意波长就越长这时这种粒子的波动性就越明显特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时粒子间的相干性就尤为明显因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。1．4利用玻尔——索末菲的量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10T玻尔磁子试计算运能的量子化间隔△E并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。解玻尔——索末菲的量子化条件为其中q是微观粒子的一个广义坐标p是与之相对应的广义动量回路积分是沿运动轨道积一圈n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k谐振子质量为μ于是有这样便有这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动一正一负正好表示一个来回运动了一圈。此外根据可解出这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样根据玻尔——索末菲的量子化条件有为了积分上述方程的左边作以下变量代换；这样便有这时令上式左边的积分为A此外再构造一个积分这样便有（1）这里=2θ这样就有（2）根据式（1）和（2）便有这样便有其中最后对此解作一点讨论。首先注意到谐振子的能量被量子化了；其次这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时有这时玻尔——索末菲的量子化条件就为又因为动能耐所以有其中是玻尔磁子这样发现量子化的能量也是等间隔的而且具体到本题有根据动能与温度的关系式以及可知当温度T=4K时当温度T=100K时显然两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。1．5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对如果两光子的能量相等问要实现实种转化光子的波长最大是多少？解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题严格来说需要用到相对性量子场论的知识去计算修正当涉及到这个过程的运动学方面如能量守恒动量守恒等我们不需要用那么高深的知识