matlab实现数值分析插值及积分.docx

数值分析

学院：计算机
专业：计算机科学与技术
班级：xxx
学号：xxx
姓名：xxx
指导教师：xxx

数值分析
摘要：
HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/295760.htm"\t"_blank"数值分析(numericalanalysis)是研究分析用HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/3314.htm"\t"_blank"计算机求解HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1284.htm"\t"_blank"数学计算问题的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1227974.htm"\t"_blank"数值计算方法及其理论的学科，是HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1284.htm"\t"_blank"数学的一个分支，它以HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/788566.htm"\t"_blank"数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在实际生产实践中，常常将实际问题转化为数学模型来解决，这个过程就是数学建模。学习数值分析这门课程可以让我们学到很多的数学建模方法。
分别运用matlab数学软件编程来解决插值问题和数值积分问题。题目中的要求是计算差值和积分，对于问题一，可以分别利用朗格朗日插值公式，牛顿插值公式，埃特金逐次线性插值公式来进行编程求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为：P4x=x4+1。
其中Aitken插值计算的结果图如下：

对于问题二，可以分别利用复化梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式编写程序来进行求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为：0.6932
其中复化梯形公式计算的结果图如下：

问题重述
问题一：已知列表函数

表格SEQ表格\*ARABIC1
x01234fx121782257
分别用拉格朗日，牛顿，埃特金插值方法计算P4x。

问题二：用复化的梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式计算积分121xdx，使精度小于5×10-5。

问题解决
问题一：插值方法
对于问题一，用三种差值方法：拉格朗日，牛顿，埃特金差值方法来解决。
一、拉格朗日插值法：
拉格朗日插值多项式如下：

首先构造个插值节点上的插值基函数，对任一点所对应的插值基函数，由于在所有取零值，因此有因子。又因是一个次数不超过的多项式，所以只可能相差一个常数因子，固可表示成：

利用得：

于是

因此满足的插值多项式可表示为：

从而次拉格朗日插值多项式为：

matlab编程：
编程思想：主要从上述朗格朗日公式入手：依靠循环，运用poly（）函数和conv（）函数表示拉格朗日公式，其中的poly（i）函数表示以i作为根的多项式的系数，例如poly（1）表示x-1的系数，输出为1-1，而poly（poly（1））表示（x-1）*（x-1）=x^2-2*x+1的系数，输出为1-21；而conv（）表示多项式系数乘积的结果，例如conv（poly（1），poly（1））输出为1-21；所以程序最后结果为x^n+x^n-1+……+x^2+x+1（n的值据结果的长度为准）的对应系数。
在命令窗口输入editlagran来建立lagran.m文件，文件中的程序如下：
function[c,l]=lagran(x,y)
w=length(x);
n=w-1;
l=zeros(w,w);
fork=1:n+1
v=1;
forj=1:n+1
ifk~=j
v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));
end
end
l(k,:)=v;
end
c=y*l;

输入：>>x=[01234];
>>y=[121782257];
>>lagran(x,y)

运行结果为
ans=
1.0000-0.0000-0.000001.0000
结果为：P4x=x4+1。
如图表1：

图表SEQ图表\*ARABIC1
二．牛顿插值法
newton插值多项式的表达式如下：

其中每一项的系数ci的表达式如下：

即为f(x)在点处的i阶差商，（，），由差商的性质可知：

matlab编程：
编程思想：主要从上述牛顿插值公式入手：依靠循环，运用poly（）函数和conv（）函数表示拉格朗日公式，其中的poly（i）函数表示以i作为根的多项式的系数，例如poly（1）表示x-1的系数，输出为1-1，而poly（poly（1）