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初中几何综合复习（讲稿）

—矩形折叠问题

同学们好，今天我和大家一起研究平面图形的折叠问题。

首先，在最近几年的中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们

识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都

提出了比以往更高的要求。希望通过今天的讨论，使同学们对折叠问

题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步认识；在问

题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质以及

解决有关问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中

提高分析问题和解决问题的能力。

那么，什么是折叠问题呢？

这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关的

问题。下面我们将对它们分别进行讨论

一.折叠的意义

1．折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180o，使它与另一

部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，

“叠”是结果。
lB´
Bَ

DC

AB
O

AB
图1图2
如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形，其中OBˊ是OB
C
在折叠前的位置；

图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形，△

ABC是△ABˊC在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；

(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形

如图如图（1）中OBˊ=OB；

如图（2），△ABˊC≌△ABC；

(3)图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称

如图（1）OBˊ和OB关于直线l成轴对称；

如图（2）△ABˊC和△ABC关于直线AC成轴对称。

二．和折叠有关的问题

图形经过折叠，其翻折的部分折叠前的图形组合成新的图形，

新的图形中有关的线段和角的位置、数量都有哪些具体的关系呢？这

就是我们今天要重点讨论的问题。下面，我们以矩形的折叠为例，一

同来探讨这个问题。

问题1:

将宽度为a的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆
盖的部分△AˊEF.F

21
a

3
E
Aˊ

（a）△AˊEF是什么三角形？

结论：三角形AE΄F是等腰三角形

证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等的,

∴∠1=∠2,
又∵矩形的对边是平行的∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,

∴A΄E=A΄F
三角形AE΄F是等腰三角形F
方法二：
Pa
∵图形在折叠前和折叠
Q
后的形状、大小不变，AE
只是位置不同ˊ
∴表示矩形宽度的线段EP和

FQ相等，即∆AˊEF的边AˊE和AˊF上的高相等，

∴AˊE=AˊF

三角形AE΄F是等腰三角形

(b)改变叠折的角度α的大小，

三角形AˊEF的面积会变是否改？F

为什么?α

答：不会改变。

分析：
AˊE
α的改变影响了AˊE的长度，但却不
能改变边AˊE上的高，三角形AˊEF的

面积会随着α的确定而确定.
例一：在上面的图中，标出点Aˊ在折叠前对应的位置A,四
边形AˊEAF是什么四边形？

分析：
EA
（1）由前面的分析可知

Aˊ与Aˊ在折叠前

的位置A关于折痕EF
AˊF
成轴对称,所以作Aˊ关

于EF的对称点即

可找到点A（过点Aˊ作AˊA⊥EF交矩形的边于点A）。

同学们还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点A。

（2）四边形AEAˊF是菱形

证法一：∵A是Aˊ在折叠前对应的位置,

∴A和Aˊ关于直线EF轴对称,

∴AAˊ⊥EF,且AO=AˊO,

又∵AE∥AˊF,∴EO∶OF=AO∶OAˊ,

∴EO=OF∴四边形AEAˊF是菱形

证法二：

A是Aˊ在折叠前对应的位置,

∴∆AEF≌∆AˊEF,

AˊE=AˊE,AF=AF，
又∵∆AEF是等腰三角形（已证）,AˊE=AˊF,

∴AE=AF=AˊE=AˊF,

∴四边形AEAˊF是菱形.

例2.在上题图的中,若翻折的角度α=30º,a=2,求图中被覆盖的部
E
分△AEF.的面积.。AαB

分析：
F
DC
图中被覆盖的部分△AˊEFAˊ

是等腰三角形，其腰上的高就是原

矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰AˊF或AˊE的

长。
8
答：S四边形AEAˊF＝2S△AˊEF=
33
（解答过程略）

练一练：当α的大小分别45o、60o时，图中被覆盖的部分△AˊEF.

的面积是多少？

AB
α=45oα=60º

DC

例题3.如图：将矩形ABCD对折，E
CB
折痕为MN，再沿AE折叠，把B
P
M
点叠在MN上，（如图中1的点P）,N

Dp2A
F
若AB=√3,则折痕AE的长为多少？

分析：

折痕AE为直角三角形ABE的斜边，故解决本题的关键是求PE(或

BE)的长。

解法一：由折叠的意义可知，AP⊥EP,

延长E