43平面向量的数量积与平面向量的应用.doc

4.3平面向量的数量积与平面向量的应用
一、知识点
1．平面向量的数量积
平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做
a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，规定0·a＝0.
2．向量数量积的运算律：(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
3．平面向量数量积的有关结论：已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))二、考点分析
考点一平面向量的数量积的运算
1．(2014·温州适应性测试)在△ABC中，若∠A＝120°，·＝－1，则||的最小值是()
A.eq\r(2)B．2C.eq\r(6)D．6
2．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
考点二平面向量数量积的性质
3．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°,E为CD的中点．若·＝1,则AB的长为________．
4．若平面向量a与平面向量b的夹角等于eq\f(π,3)，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于()
A.eq\f(1,26)B．－eq\f(1,26)C.eq\f(1,12)D．－eq\f(1,12)
5．已知向量a与b的夹角是eq\f(2π,3)，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数λ＝________.
考点三平面向量与三角函数的综合
6.(2013·江苏高考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

三、练习巩固
1．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为()
A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．10
2．(2014·惠州调研)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为()
A.eq\r(5)B.eq\r(13)C．5D．13
3．(2014·江西七校联考)已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()
A．－eq\f(1,6)B.eq\f(1,6)C．－eq\f(1,7)D.eq\f(1,7)
4．(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()
A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)
5．(2014·昆明质检)在直角三角形ABC中，∠C＝eq\f(π,2)，AC＝3，取点D使＝2，那么·＝()
A．3B．4C．5D．6
6．(2013·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()
A.eq\r(2)－1B.eq\r(2)C.eq\r(2)＋1D.eq\r(2)＋2
7．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
8．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
9．(2013·山东高考)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°(1)计算：|a＋b|，|4a－2b|(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?

11．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sinA)，n＝(1，－