平面向量的数量积及向量的应用.docx

第三节平面向量的数量积及向量的应用
复习目标：1．理解向量数量积的概念及几何意义;2．掌握数量积的运算式及其变式与运算律.
3.能通过向量运算研究几何问题中的点、线段、夹角等关系;
4.会用向量知识解决几何、物理问题
知识梳理：
１.向量的数量积的定义：已知两个非零向量SKIPIF1<0，它们的夹角为SKIPIF1<0，
则把数量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的数量积（或内积），记作SKIPIF1<0，即＝
规定：零向量与任一向量的数量积为格；注意公式的变形SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．
２.向量的数量积的几何意义
10.投影的概念:设SKIPIF1<0，
过Ｂ作SKIPIF1<0垂直于直线ＯＡ,垂足为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0＝叫SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影．

20.向量数量积的几何意义：数量积SKIPIF1<0等于与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的乘积
３.向量的数量积的性质：设SKIPIF1<0都是非零向量，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的夹角．
①特殊情况:SKIPIF1<0．SKIPIF1<0＝或SKIPIF1<0
②当SKIPIF1<0同向时，SKIPIF1<0＝；当SKIPIF1<0反向时，SKIPIF1<0＝．
③SKIPIF1<0SKIPIF1<0
④运算律:SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;
SKIPIF1<0;注意:SKIPIF1<0.
4.向量的数量积的坐标运算：设SKIPIF1<0,则
10.SKIPIF1<0=;20.SKIPIF1<0．
30.SKIPIF1<0=;40.SKIPIF1<0

5.向量在几何中的应用：设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.
10.平行,垂直
SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0SKIPIF1<0
20.夹角
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
30.距离
SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0.
6.向量在几何中的应用：
10.向量的加法与减法在力的分解及合成中的应用;
20.向量在速度的分解及合成中的应用;
30.向量的数量积在力所做的功中的应用;

课堂典例讲练

题型一：平面向量数量积的运算
例一：(1)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则(a－2b)·(2a＋3b)＝________.
(2)如图4－3－1所示，在△ABC中，AD⊥AB，
eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\a\vs4\al(\r(3))eq\a\vs4\al(\o(BD,\s\up6(→)))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝
A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)

变式训练：若将本例第(2)题的条件改为“在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD.”如图4－3－2所示，试求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).
【解】∵DC＝2BD，即eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，
∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).
又eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，
因此eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).
∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝