高三数学一轮复习 9.4 空间向量及其运算课件 文 大纲人教版 课件.ppt

【考纲下载】1．共线向量与共面向量【思考】向量∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？答案：不是．向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面α或在平面α内两种情况．因此在用共面向量定理证明线面平行时必须说明向量所在的直线不在平面内．2．空间向量基本定理如果三个向量abc那么对空间任一向量p存在一个惟一的有序实数组xyz使p＝xa＋yb＋zc.推论：设OABC是不共面的四点则对空间任一点P都存在惟一的三个有序实数xyz使当xyz满足时PABC四点共面．提示：如果三个向量a、b、c不共面那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zcxyz∈R}．这个集合可看作是由向量abc生成的所以我们把{abc}叫做空间的一个基底abc都叫做基向量．由上述定理可知空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．3．两个向量的数量积提示：(1)在实数中若a≠0且a·b＝0则b＝0；但是在向量中若a≠0且a·b＝0不能推出b＝0.因为cosθ有可能为0.(2)已知实数a、b、c(b≠0)则ab＝bc⇒a＝c.在向量中a·b＝b·c并不一定有a＝c.(3)在实数中有(a·b)c＝a(b·c)但是在向量中不一定有(a·b)c＝a(b·c)．(4)向量的夹角未必是异面直线所成的角有时要进行转化．A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|则ab的长度相等而方向相同或相反解析：A项错．因为空间任两向量平移之后可共面所以空间任两向量均共面；B项错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等与方向无关．C项错．空间任两向量不研究大小关系因此也就没有这种写法．D项对．∵＝0答案：D2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中向量是()A．有相同起点的向量B．等长的向量C．共面向量D．不共面向量3．已知空间四边形ABCD中M、G分别为BC、CD的中点则等于()4．设有四边形ABCDO为空间任意一点且则四边形ABCD是________．解析：由∴四边形ABCD是平行四边形．答案：平行四边形空间向量的运算可以与平面向量的运算进行类比利用图形中的平行关系可以把空间的运算进行转化从而使得运算更加简便．思维点拨：结合图形特点利用向量的三角形法则或平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向量再充分运用空间向量加法及数乘向量的运算律求解．解：(1)要用共线向量定理证明向量ab所在的直线平行除证明a＝λb外还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外．(2)利用空间向量证明线面平行只要在平面α内找到一条直线的方向向量为b已知直线的方向向量为a证明a＝λb即可．【例2】如图所示若ABC－A1B1C1是三棱柱D是AC的中点．(1)利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线上各取一个向量ab只要证明a⊥b即a·b＝0即可．(2)证明线面垂直：直线l平面α要证l⊥α只要在l上取一个非零向量p在α内取两个不共线的向量a、b问题转化为证明p⊥a且p⊥b也就是a·p＝0且b·p＝0.(3)证明面面平行、面面垂直最终都要转化为证明线线平行线线垂直．【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中O为AC与BD的交点G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.∴A1O⊥BD∴A1O⊥平面GBD.变式3：已知空间四边形OABC中M为BC的中点N为AC中点P为OA中点Q为OB中点若AB＝OC求证：PM⊥QN.证明：如图所示设(1)利用向量法解决问题时首先要取一组基底该基底的模与夹角最好已知或可求．(2)求两点间的距离或某线段的长度的方法是：把此线段用向量表示然后利用|a|＝转化为向量运算．思维点拨：取`为空间内的一个基底利用求AC1利用求解．变式4：已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a点MN分别是边ABCD的中点．(1)求MN的长；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．解：(1)如图所示设由题意可知|p|=|q|=|r|=a且pqr三向量两两夹角均为60°.∵(q＋r－p)∴(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝∴即MN的长为(2)设向量AN与MC的夹角为θ.∵∴cosθ＝∴向量AN与MC的夹角的余弦值为从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为【方法规律】(12分)如图所示在