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PAGE-7-2015年厦门外国语学校高三质量检查数学(理科)能力训练一一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.函数为增函数的区间是A.B.C.D.2.若函数的导函数为,且,则在上的单调增区间为()A.B.C.和D.和3.函数则等于()A.B.C.D.4.已知函数,.已知当时,函数所有零点和为9.则当时,函数所有零点和为()A.15B.12C.9D.与k的取值有关5.函数上的图象大致为()6.已知函数SKIPIF1<0定义在R上的奇函数,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,给出下列命题:①当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0②函数SKIPIF1<0有2个零点③SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0④SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0其中正确命题个数是()A.1B.2C.3D.47.在边长为的菱形中,,则在方向上的投影为()A.B.C.D.8.如图,菱形的边长为,,为的中点,若为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为()A.B.C.D.9二、填空题(本大题共3小题,每小题4分,共12分.)9.已知,其导函数为,则.10.已知函数f(x)=x2+ex-eq\f(1,2)(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是__________.11.设函数,且,下列命题:①若,则;②存在,使得③若,则;④对任意的,都有.其中正确的是.(填写序号)三、解答题(本大题共4小题,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)12.(本题满分12分)函数()的最小正周期是.(1)求的值;(2)若,且,求的值.13.(本题满分12分)在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边,锐角B满足。 (1)求的值;(2)若,当ac取最大值时,求的值.14.(本题满分12分)设,函数.(1)若,求函数在区间上的最大值;(2)若,作函数的图象并写出的单调区间(不必证明);(3)若存在,使得关于的方程有三个不相等的实数解,求实数的取值范围.15.(本题满分12分)已知,函数,(其中为自然对数的底数).(1)判断函数在上的单调性;(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(3)若实数满足,求证:2015年厦门外国语学校高三质量检查数学(理科)能力训练一参考答案1-8CDBACBCD4.解析:如图,函数与图象均点过的,且均关于点对称.∴零点关于“对称”,∵当时,所有零点和为9,∴此时,函数与图象有三个公共点,此时,,得.当时,且,∴有5个零点,且.8.以A点为坐标原点,建立直角坐标系,因为,菱形的边长为2,所以D点坐标为,,因为是中点,所以,设,则点的活动区域为四边形OBCM内(含边界),则,令,得,由线性规划可知,当直线经过点C时,直线的截距最大,此时最大,所以此时最大值为,选D.9.10.答案:分析:由题可得存在满足,当取决于负无穷小时,趋近于,因为函数在定义域内单调递增,,所以.11.分析:因为,所以为凸函数.容易判断①正确;②错误;④正确;对于③,,正确,故选②③④.12.解:(1)的周期,即,………………………1分,由,得,即.………3分.………………5分(2)由得,…………………7分又,,………………………………8分,………………………………9分..…………………………………………12分13.(1)∵锐角B满足.(2)∵,∴∴.∴∴14.(1)当,时,作函数图像(图像略),可知函数在区间上是增函数,所以的最大值为.Oayx(2)①当时,,因为,所以,所以在上单调递增.②当时,,因为,所以,所以在上单调递增,在上单调递减.综上,函数的单调递增区间是和,单调递减区间是.)(3)①当时,,,所以在上是增函数,关于的方程不可能有三个不相等的实数解.②当时,由(1)知在和上分别是增函数,在上是减函数,当且仅当时,方程有三个不相等的实数解.即.令,在时是增函数,故.所以,实数的取值范围是.15.解.(1)∵,,∴.①若,则,在上单调递增;②若,当时,,函数在区间上单调递减,当时,,函数在区间上单调递增,③若,则,函数在区间上单调递减.(2)∵,,,由(1)易知,当时,在上的最小值:,即时,.又,∴.曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解.而,即方程无实数解.故不存在.(3)证明:,由(2)知,令得.