福建省厦门外国语学校2015届高三数学能力训练四 理.doc

PAGE-11-2015年厦门外国语学校高三质量检查数学（理科）能力训练四一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列命题中错误的是（）A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C．如果平面平面，平面⊥平面，，那么平面D．如果平面平面，那么平面内有且只有一条直线垂直于平面2．函数在区间上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．52468024682468yzx3．有下列关于三角函数的命题（），若，则；与函数的图象相同；；的最小正周期为．其中真命题是A．，B．，C．，D．，4．如图是一个四棱锥在空间直角坐标系、、三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为()A．94B．32C．64D．165、根据如下样本数据x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为.若，则每增加1个单位，就()A．增加个单位；B．减少个单位；C．增加个单位；D．减少个单位.6．已知双曲线的离心率，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是()A．B．C．D．7.不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．8.已知正方体的棱长为,、分别是边、上的中点,点是上的动点,过点、、的平面与棱交于点,设,平行四边形的面积为,设,则关于的函数的图像大致是().第8题图A.D.B.C.二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．）9.如图，直线与圆及抛物线依次交于A、B、C、D四点，则.10.设为数列的前n项和，且对任意都有，记，与的大小关系为____________．11.已知F2、F1是双曲线(a>0，b>0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为_____________;三、解答题（本大题共4小题，共48分．）12.已知函数，．（Ⅰ）若函数的图象关于直线对称，求的最小值；（Ⅱ）若函数在上有零点，求实数的取值范围.13.已知函数（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。14.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）证明：圆与轴必有公共点；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．15.已知定义在上的奇函数满足：当时，．（1）求的解析式和值域；（2）设，其中常数．①试指出函数的零点个数；②若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中．证明：（）．2015年厦门外国语学校高三质量检查数学（理科）能力训练四参考答案1-8DCDBBCCA9.1410.解：当时，，得．当时，，所以，所以，适合上式，所以．因为，所以，所以．11.212.解：（Ⅰ）由，可得,又所以的最小值为.（Ⅱ）因为，所以所以即，所以又在上有零点，即在有解故，所以故实数的取值范围为13.【答案】（1）因为曲线与曲线在它们的交点（1，）处具有公共切线，所以，且即，且解得（2）记当时，令，得时，和的情况如下：+0-0+↑↓↑所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为。当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上的最大值为。当，且，即时，函数在区间内单调递增，在区间上单调递减，在区间上的最大值为。当，即时，函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增。又因，所以在区间上的最大值为。14.解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。……………………………2分（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为……………………………3分由得方程，由直线与抛物线相切，得……………………………4分且，从而，即，……………………………5分由，解得，……………………………6分∴的中点的坐标为圆心到轴距离，∵所圆与轴总有公共点.……………………………8分(或由,,以线段为直径的方程为:令得,所圆与轴总有公共点）.……………………………9分（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，……………………………10分由（2）知，∴。由得，所以，即或……………………………13分所以平面上存在定点，使得圆恒过点.……………………………14分证法二：由（2）知，，的中点的坐标为所以圆的方程为……………………………11分整理得……………………………12分上式对任意均成立，当且仅当，解得……………………………13分所以平面上存在定点，使得圆恒过点.……………………………14分15.、解：（1）为奇函数，．当时，，则，…………………………2分时，