（浙江专用）高考数学一轮总复习 专题5 平面向量与解三角形 5.2 平面向量的数量积及其应用课件-人教版高三全册数学课件.pptx

高考数学（浙江专用）考点一平面向量的数量积量积(或内积)记作a·b=|a|·|b|·cosθ.(3)规定:0·a=0.(4)a·b的几何意义a.一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是非零向量a与b的夹角则①|a|cosθ叫做a在b的方向上的投影②|b|cosθ叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数而不是向量.当0°≤θ<90°时它是正值;当90°<θ≤180°时它是负值;当θ=90°时它是0.b.a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.向量的数量积的性质设a、b都是非零向量e是与b方向相同的单位向量θ是a与e的夹角则(3)当a与b同(1)e·a=a·e=|a|·cosθ.(2)a⊥b⇔③a·b=0.向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|特别地a·a=|a|2.(4)θ亦为a、b的夹角且cosθ=④ .(5)|a·b|≤|a|·|b|.3.向量的数量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.平面向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1y1)b=(x2y2)则a·b=x1x2+y1y2.(2)若a=(xy)则a·a=a2=|a|2=x2+y2|a|= .(3)若A(x1y1)B(x2y2)则| |= 这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1y1)b=(x2y2)则a⊥b⇔⑤x1x2+y1y2=0.5.向量中的重要不等式若a=(x1y1)b=(x2y2)则-|a||b|≤a·b≤|a||b|⇔- · ≤x1x2+y1y2≤ · .考点二向量的综合应用(3)要证AB⊥CD只需证 · =0.【知识拓展】向量中常用的结论:在△ABC中设∠A∠B∠C所对的边分别为abc.(1)在 =λ 的条件下存在λ使得I为△ABC的内心;a +b +c =0⇔P为△ABC的内心.(2)| |=| |=| |⇔P为△ABC的外心.(3) + + =0⇔G为△ABC的重心.(4) · = · = · ⇔P为△ABC的垂心.考向突破解析以O为原点OA为x轴建立平面直角坐标系由 · =1得∠AOB= 于是A( 0)B 设C(xy)则 + =1.问题转化为求圆 + =1上一点到原点的距离的取值范围.因为原点到圆心 的距离为 且圆的半径为1所以| |的取值范围为[ -1 +1].考向二用数量积求角度问题方法1利用数量积求长度和夹角的方法一、求夹角的方法1.定义法:利用向量数量积的定义知cosθ= 其中两个向量的夹角θ∈[0π]求解时应求出三个量:a·b|a||b|或找出这三个量之间的关系.2.坐标法:若a=(x1y1)b=(x2y2)θ为ab的夹角则cosθ= .3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中利用正、余弦定理和三角形的面积公式进行求解.二、求长度的方法1.|a|= = ;2.|a±b|= ;3.若a=(xy)则|a|= .解析设向量bc的夹角为θ因为b·c=2|b-c|≥0所以θ∈ 由2|b-c|=b·c知2 =|b||c|cosθ两边平方可知4+|b|2-4|b|cosθ=|b|2cos2θ即sin2θ|b|2-4|b|cosθ+4=0所以关于|b|的方程有解此时Δ=16cos2θ-16sin2θ≥0要使夹角最大仅需考虑sinθ>0所以tanθ≤1即θ≤ 所以θ的最大值为 此时|b|=2 .方法2利用向量解决几何问题的方法1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤:①建立平面几何与向量的联系用向量表示问题中涉及的几何元素将平面几何问题转化为向量的问题;②通过向量运算研究几何元素之间的关系如距离、夹角等问题;③把运算结果转化成几何关系.2.用向量法解平面几何问题主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐标化然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题这样可以避免繁杂的逻辑推理同时加强了数形结合思想在解题中的应用.例2(2017浙江镇海中学第一学期期中15)已知△ABC的外心为Oabc分别为内角ABC所对的边且 + + =0则abc的关系为cosB的取值范围为.解析设AC边上的中点为D则OD⊥AC从而有 · =( + )· = · + · =  · +0= b2同理有 · = c2∴ · = ·( - )= b2- c2.同理有 · = c2- a2 · = a2- b2∴由 + + =0得a2+2c2=3b2.∵cosB= = = ≥ = (当且仅当 a=c时取等号)cosB<1∴ ≤cosB<1.