（浙江专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定和性质课件-人教版高三全册数学课件.pptx

§8.4直线、平面垂直的判定和性质(2015浙江1715分)如图在三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°AB=AC=2A1A=4A1在底面ABC的射影为BC的中点D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.解析(1)证明:设E为BC的中点连接A1EAEDE由题意得A1E⊥平面ABC所以A1E⊥AE.因为AB=AC所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由DE分别为B1C1BC的中点得DE∥B1B且DE=B1B从而DE∥A1A且DE=A1A所以四边形A1AED为平行四边形.故A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC所以A1D⊥平面A1BC. (2)解法一:作A1F⊥BD且A1F∩BD=F连接B1F.由AE=EB= ∠A1EA=∠A1EB=90°得A1B=A1A=4.由A1D=B1DA1B=B1B得△A1DB与△B1DB全等.由A1F⊥BD得B1F⊥BD因此∠A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角.由A1D= A1B=4∠DA1B=90°得BD=3 A1F=B1F= 由余弦定理得cos∠A1FB1=- .解法二:以CB的中点E为原点分别以射线EAEB为xy轴的正半轴建立空间直角坐标系E-xyz如图所示. 由题意知各点坐标如下:A1(00 )B(0 0)D(- 0 )B1(-   ).因此 =(0 - ) =(- -  ) =(0 0).设平面A1BD的法向量为m=(x1y1z1)平面B1BD的法向量为n=(x2y2z2).由 即 可取m=(0 1).由 即 可取n=( 01).于是|cos<mn>|= = .由题意可知所求二面角的平面角是钝角故二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值为- .考点一线面垂直的判定与性质2.(2015安徽55分)已知mn是两条不同直线αβ是两个不同平面则下列命题正确的是 ()A.若αβ垂直于同一平面则α与β平行B.若mn平行于同一平面则m与n平行C.若αβ 则在α内 与β平行的直线D.若mn 则m与n 垂直于同一平面3.(2019北京理125分)已知lm是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件余下的一个论断作为结论写出一个正确的命题:.4.(2019天津文1713分)如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为平行四边形△PCD为等边三角形平面PAC⊥平面PCDPA⊥CDCD=2AD=3.(1)设GH分别为PBAC的中点求证:GH∥平面PAD;(2)求证:PA⊥平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 解析本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.以线面角的计算为依托考查数学运算与直观想象的核心素养.满分13分.(1)证明:连接BD易知AC∩BD=HBH=DH.又由BG=PG故GH∥PD.又因为GH⊄平面PADPD⊂平面PAD所以GH∥平面PAD. (2)证明:取棱PC的中点N连接DN.依题意得DN⊥PC.又因为平面PAC⊥平面PCD平面PAC∩平面PCD=PC所以DN⊥平面PAC又PA⊂平面PAC故DN⊥PA.又已知PA⊥CDCD∩DN=D所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN由(2)中DN⊥平面PAC可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形CD=2且N为PC的中点所以DN= .又DN⊥AN在Rt△AND中sin∠DAN= = .所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 .5.(2019北京理1614分)如图在四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCDAD⊥CDAD∥BCPA=AD=CD=2BC=3.E为PD的中点点F在PC上且 = .(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上且 = .判断直线AG是否在平面AEF内说明理由. 解析本题主要考查线面垂直的判定和性质二面角的求法;考查学生的空间想象能力;以四棱锥为背景考查直观想象的核心素养.(1)因为PA⊥平面ABCD所以PA⊥CD又因为AD⊥CD所以CD⊥平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD所以PA⊥AMPA⊥AD.如图建立空间直角坐标系A-xyz则A(000)B(2-10)C(220)D(020)P(002). 因为E为PD的中点所以E(011).所以 =(011) =(22-2) =(002).所以 =  =  = + = .设平面AEF的法向量为n=(xyz)则 即 令z=1则y=-1x=-1.于是n=(-1-11).又因为平面PAD的法向量为p=(100)所以cos<np>= =- .由题知二面角F-