（浙江专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质课件-人教版高三全册数学课件.pptx

§8.4直线、平面垂直的判定与性质考点一直线与平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l和平面α内的①任意一条直线都垂直我们就说直线l与平面α垂直记作l⊥α.(2)直线与平面垂直的判定和性质类别2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的⑤锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内我们说它们所成的角是0°的角.(2)线面角θ的取值范围:0°≤θ≤90°.考点二平面与平面垂直的判定与性质1.二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面.如果记棱为l那么两个面分别为α、β的二面角记作α-l-β.在二面角的棱上任取一点以该点为垂足在两个半平面内分别作垂直于棱的射线则两射线所构成的角叫做二面角的平面角.类别性质知识拓展垂直问题的转化方向图 在垂直关系中线面垂直是核心已知线面垂直既可为证明线线垂直提供依据又可为利用判定定理证明面面垂直做好铺垫.应用面面垂直的性质定理时一般需作辅助线基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题进而可转化为线线垂直问题.考法一证明直线与平面垂直的方法证明(1)因为PA⊥平面ABCDCD⊂平面ABCD所以PA⊥CD.因为AC⊥CDPA∩AC=A所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC所以CD⊥AE.(2)由AB=BC∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形所以AB=AC所以AC=PA.因为E是PC的中点所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD又PC∩CD=C所以AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCDAB⊂平面ABCD所以PA⊥AB.方法总结证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥ba⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥αα∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直而证明线线垂直需借助线面垂直的性质.因此判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.考法二平面与平面垂直的判定与性质问题解题导引(1)要证平面PAB⊥平面ABCD需在其中一个平面内找一条直线证其与另一个平面垂直结合已知考虑证PO⊥平面ABCD(PO⊂平面PAB)而PO⊥AB易证关键证PO⊥CD;再由已知平面POC⊥平面ABCD考虑两平面垂直的性质.若用性质需找出其交线OC再找出与OC垂直的直线CD此时CD⊥平面POC证得CD⊥OPOP⊥平面ABCD即证.(2)寻找特殊点作出二面角O-PD-C的平面角作出与PD垂直的平面是关键取OD的中点F过F作FG⊥PD于G连接CGCF易证PD⊥平面CFG则∠CGF即为二面角O-PD-C的平面角求解直角三角形即得余弦值;当然本问也可用向量法求解.解析(1)证明:∵PA=PBO为AB的中点AB=2∴PO⊥ABAO=BO=1.过点C作CE∥AB交AD于E∵AD∥BCAB⊥BC∴四边形ABCE是矩形∴AE=BC=2CE=AB=2又∵AD=3∴DE=1∴CD= = ∵AD∥BCAB⊥BC∴AD⊥AB在Rt△BOC中由勾股定理得OC= = = .在Rt△AOD中由勾股定理得OD== = 显然OD2=OC2+CD2=10∴CD⊥OC∵平面POC⊥平面ABCD平面POC∩平面ABCD=OC∴CD⊥平面POC又PO⊂平面POC∴CD⊥PO易知AB与CD相交∴PO⊥平面ABCD∵PO⊂平面PAB∴平面PAB⊥平面ABCD.(2)解法一:取OD的中点F过F作FG⊥PD于G连接CGCF.∵OP= = OD= ∠POD=90°∴PD= 又∵DF= OD= ∴FG=DF·sin∠PDO= × = 又∵CF= = = ∴CG= = = = ∴cos∠CGF= = ÷ = × = .故二面角O-PD-C的余弦值为 .解法二:如图建立空间直角坐标系O-xyz 则P(00 )D(-130)C(120)∴ =(00 ) =(-130) =(-1-2 ) =(-210).设平面OPD的法向量为n1=(x1y1z1)平面PCD的法向量为n2=(x2y2z2).由 可得 取y1=1得x1=3即n1=(310).由 可得 取x2= 得y2=2 z2=5即n2=( 2 5)∴cos<n1n2>= = = 故二面角O-PD-C的余弦值为 .方法总结证明面面垂直的常用方法1.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角计算平面角为90°);2.利用面面垂直的判定定理:a⊥βa⊂α⇒α⊥β.3.证明两个平面垂直通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面