【志鸿全优设计】2013-2014学年七年级数学上册 5.1 相交线例题与讲解 （新版）华东师大版.doc

5.1相交线1．对顶角(1)对顶角概念如图直线AC与BD相交于O点则图中形成了四个角分别是：∠1∠2∠3与∠4.∠1和∠3具有相同的顶点且∠1的两边OAOC分别与∠3的两边OBOD互为反向延长线我们把这样的两个角叫做对顶角．∠2和∠4也是对顶角．谈重点对顶角概念的理解①对顶角必须具备两个条件：一是有公共顶点；二是两边互为反向延长线．②对顶角是成对出现的且具有特殊的位置关系主要反映角的位置关系．(2)对顶角性质性质：对顶角相等即：∠1＝∠3∠2＝∠4.【例1－1】下列各组角中∠1与∠2是对顶角的为()．解析：根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线这样的两个角叫做对顶角．根据两条直线相交才能构成对顶角进行判断ABC都不是由两条直线相交构成的图形错误；D是由两条直线相交构成的图形正确．故选D.答案：D【例1－2】如图ABCD相交于点OOB平分∠DOE若∠DOE＝60°求∠AOD和∠AOC的度数．分析：观察图形可以发现∠AOD和∠BOD互为补角∠AOC和∠BOD互为对顶角所以只要求出∠BOD的度数然后利用互补和对顶角的性质即可解决问题．解：因为OB是∠DOE的平分线所以∠BOD＝eq\f(12)∠DOE＝eq\f(12)×60°＝30°.所以∠AOC＝∠BOD＝30°∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°.解技巧利用对顶角、邻补角解决问题时要仔细观察图形利用对顶角、邻补角解决问题应注意图形中哪些是互补的角哪些是对顶角在解决问题时用到哪些对顶角和互补的角．2.垂线(1)垂线的定义：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时其他三个角也都成为直角此时这两条直线互相垂直其中一条叫做另一条的垂线它们的交点叫做垂足．如图直线ABCD互相垂直记作AB⊥CD读作“AB垂直于CD”．注意：两条射线或线段的垂直指的是它们所在的直线相互垂直．(2)画垂线①用量角器画垂线相当于利用量角器作一个90度的角．a．经过直线上一点画已知直线的垂线先让量角器的底线落在已知直线上并使量角器底边的中心点与直线上已知的点O重合再在量角器90度所对的位置处标出一点C拿走量角器过OC两点作直线OC即可．b．经过直线外一点画已知直线的垂线先让量角器的底线落在已知直线上并使量角器90度的垂直线经过直线外的点P再在量角器90度所对的位置处标出一点C拿走量角器过PC两点作直线PC即可．②用三角板画垂线利用三角板画垂线主要是利用三角板中的直角．a．落：使三角板的一条直角边落在已知直线上；b．过：移动三角板使三角板的另一直角边经过已知点；c．画：沿过已知点的直角边画直线．(3)垂线段：过一条直线外一点作已知直线的垂线这点与垂足之间的线段叫做垂线段；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．注意区分两组概念：①垂线与垂线段：它们都具有垂直于已知直线的共同特征但垂线是一条直线不能度量而垂线段是一条线段可以度量长度它是垂线的一部分．②两点之间的距离与点到直线的距离：两种距离都是指线段的长度是一种数量关系都具有“最小”的特征但前者是指连接两点的线段的长度后者是指点到直线的垂线段的长度(可以化归为这点与垂足之间的线段长)．(4)垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短．【例2】如图∠1＝53°∠2＝37°CD与CE的位置关系是__________．解析：先求出∠DCE的度数再根据度数判定位置关系．因为∠DCE＝180°－∠1－∠2＝180°－53°－37°＝90°所以CD⊥CE.答案：垂直解技巧证明两直线垂直的方法垂直的定义为我们提供了一种证明垂直的方法和途径若要证明两直线垂直只需要证明两直线相交所成的四个角中有一个是直角即可．3．相交线中的角(1)同位角、内错角、同旁内角的定义：①如图∠1和∠5分别在直线ABCD的上方并且都在直线EF的右侧像这样位置的一对角叫做同位角．②如图∠3和∠5这两个角都在直线ABCD之间并且∠3在直线EF的左侧∠5在直线EF的右侧像这样位置的一对角叫做内错角．③如图∠3和∠6这两个角都在直线ABCD之间并且在直线EF的一旁像这样位置的一对角叫做同旁内角．(2)同位角、内错角、同旁内角的识别：①定义法：根据定义两个角共涉及三条直线两角的一边分别在两条直线上而另一边在同一直线上两角有“共线边”是定义的实质抓住“一边共线”便不难识别．如图甲中的∠1和∠2涉及EFMGND三条直线且它们都有边在直线EF上故∠1和∠2是同位角．又如图乙中的∠1和∠2是否为同位角？因涉及ADACABBC四条直线无公共边故∠1和∠2不是同位角．②简化法：“简化”就是排除次要的部分把复杂图形中需要识别的图形无