高考数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值学案 理 苏教版-苏教版高三全册数学学案.doc

学案5函数的单调性与最值导学目标：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理1．单调性(1)定义：一般地设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于区间I内的任意两个值x1x2当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))那么就说f(x)在区间I上是单调________________．(2)单调性的定义的等价形式：设x1x2∈[ab]那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0⇔eq\f(fx1－fx2x1－x2)>0⇔f(x)在[ab]上是单调________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔eq\f(fx1－fx2x1－x2)<0⇔f(x)在[ab]上是单调________．(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是单调增函数或减函数那么说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性单调增区间和单调减区间统称为__________．(4)函数y＝x＋eq\f(ax)(a>0)在(－∞－eq\r(a))(eq\r(a)＋∞)上单调________；在(－eq\r(a)0)(0eq\r(a))上单调________；函数y＝x＋eq\f(ax)(a<0)在____________上单调递增．2．最值一般地设函数y＝f(x)的定义域为A如果存在x0∈A使得对于任意的x∈A都有f(x)≤f(x0)(或≥f(x0))则称f(x0)为y＝f(x)的最____(或最____)值．自我检测1．若函数y＝ax与y＝－eq\f(bx)在(0＋∞)上都是减函数则y＝ax2＋bx在(0＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空)2．(2011·连云港模拟)设f(x)是(－∞＋∞)上的增函数a为实数则有f(a2＋1)________f(a)．(填“>”、“<”或“＝”)3．下列函数在(01)上是增函数的是________(填序号)．①y＝1－2x；②y＝eq\r(x－1)；③y＝－x2＋2x；④y＝5.4．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4是区间(－∞4]上的减函数则实数a的取值范围是________．5．当x∈[05]时函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为______________________．探究点一函数单调性的判定及证明例1设函数f(x)＝eq\f(x＋ax＋b)(a>b>0)求f(x)的单调区间并说明f(x)在其单调区间上的单调性．变式迁移1已知f(x)是定义在R上的增函数对x∈R有f(x)>0且f(5)＝1设F(x)＝f(x)＋eq\f(1fx)讨论F(x)的单调性并证明你的结论．探究点二函数的单调性与最值例2已知函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋ax)x∈[1＋∞)．(1)当a＝eq\f(12)时求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1＋∞)f(x)>0恒成立试求实数a的取值范围．变式迁移2已知函数f(x)＝x－eq\f(ax)＋eq\f(a2)在(1＋∞)上是增函数求实数a的取值范围．探究点三抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对于任意xy∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)且当x>0时f(x)<0f(1)＝－eq\f(23).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－33]上的最大值和最小值．变式迁移3已知定义在区间(0＋∞)上的函数f(x)满足f(eq\f(x1x2))＝f(x1)－f(x2)且当x>1时f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1解不等式f(|x|)<－2.分类讨论及数形结合思想例(14分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[02]上的最大值和最小值．【答题模板】解f(x)＝(x－a)2－1－a2对称轴为x＝a.[2分](1)当a<0时由图①可知f(x)min＝f(0)＝－1f(x)max＝f(2)＝3－4a.[5分](2)当0≤a<1时由图②可知f(x)min＝f(a)＝－1－a2f(x)max＝f(2)＝3－4a.[8分](3)当1<a≤2时由图③可知f(x)min＝f(a)＝－1－a2f(x)max＝f(0)＝－1.[11分](4)当a>2时由图④可知f(x)min＝f(2)＝3－4af(x)max＝f(0)＝－1.综上(1)当a<0时f(x)min＝－1f(x)max＝3－4a；(2)当0≤a<1时f(x)min＝－1－a2f(x)max＝3－4a；(3)当1<a≤2