高考数学大一轮复习 第六章 平面向量与复数 第3节 平面向量的数量积及其应用讲义 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教案.doc

第3节平面向量的数量积及其应用考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b记eq\o(OA\s\up6(→))＝aeq\o(OB\s\up6(→))＝b则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b它们的夹角为θ则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1y1)b＝(x2y2)θ为向量ab的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(21)＋yeq\o\al(21)).(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2\r(xeq\o\al(21)＋yeq\o\al(21))·\r(xeq\o\al(22)＋yeq\o\al(22))).(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(21)＋yeq\o\al(21))·eq\r(xeq\o\al(22)＋yeq\o\al(22)).3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).[微点提醒]1.两个向量ab的夹角为锐角⇔a·b>0且ab不共线；两个向量ab的夹角为钝角⇔a·b<0且ab不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0\f(π2))).()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若a·b＝a·c(a≠0)则b＝c.()解析(1)两个向量夹角的范围是[0π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈ab〉＝|a||c|·cos〈ac〉所以向量b和c不一定相等.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(必修4P108A10改编)设ab是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cosθ＝|a|·|b|所以cosθ＝1即a与b的夹角为0°故a∥b.当a∥b时a与b的夹角为0°或180°所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.答案A3.(必修4P108A2改编)在圆O中长度为eq\r(2)的弦AB不经过圆心则eq\o(AO\s\up6(→))·eq\o(AB\s\up6(→))的值为________.解析设向量eq\o(AO\s\up6(→))eq\o(AB\s\up6(→))的夹角为θ则eq\o(AO\s\up6(→))·eq\o(AB\s\up6(→))＝|eq\o(AO\s\up6(→))||eq\o(AB\s\up6(→))|·cosθ＝|eq\o(AO\s\up6(→))|cosθ·|eq\o(AB\s\up6(→))|＝eq\f(12)|eq\o(AB\s\up6(→))|·|eq\o(AB\s\up6(→))|＝eq\f(12)×(eq\r(2))2＝1.答案14.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量ab满足|a