高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.3 平面向量的数量积教案 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教案.docx

§5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查偶尔会在解答题中出现属于中档题.1.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量ab作eq\o(OA\s\up6(→))＝aeq\o(OB\s\up6(→))＝b则∠AOB称作向量a和向量b的夹角记作〈ab〉.(2)范围向量夹角〈ab〉的范围是[0π]且〈ab〉＝〈ba〉.(3)向量垂直如果〈ab〉＝eq\f(π2)则a与b垂直记作a⊥b.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)作eq\o(OA\s\up6(→))＝a过点OA分别作轴l的垂线垂足分别为O1A1则向量eq\o(O1A1\s\up6(—→))叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)该射影在轴l上的坐标称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.eq\o(OA\s\up6(→))＝a在轴l上正射影的坐标记作al向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.3.向量的数量积(1)向量的数量积(内积)的定义|a||b|cos〈ab〉叫做向量a和b的数量积(或内积)记作a·b即a·b＝|a||b|cos〈ab〉.(2)向量数量积的性质①如果e是单位向量则a·e＝e·a＝|a|cos〈ae〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·a＝|a|2|a|＝eq\r(a·a)；④cos〈ab〉＝eq\f(a·b|a||b|)(|a||b|≠0)；⑤|a·b|≤|a||b|.(3)向量数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a.②对λ∈Rλ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a＝(a1a2)b＝(b1b2)则①a·b＝a1b1＋a2b2；②a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；③|a|＝eq\r(a\o\al(21)＋a\o\al(22))；④cos〈ab〉＝eq\f(a1b1＋a2b2\r(a\o\al(21)＋a\o\al(22))·\r(b\o\al(21)＋b\o\al(22))).概念方法微思考1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？提示不相同.因为a在b方向上的正投影为|a|cosθ而b在a方向上的正投影为|b|cosθ其中θ为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0则夹角一定为锐角吗？提示不一定.当夹角为0°时数量积也大于0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量而不是向量.(√)(2)两个向量的数量积是一个实数向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(√)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(4)(a·b)c＝a(b·c).(×)(5)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0\f(π2))).(×)(6)若a·b<0则a和b的夹角为钝角.(×)题组二教材改编2.已知向量a＝(21)b＝(－1k)a·(2a－b)＝0则k＝________.答案12解析∵2a－b＝(42)－(－1k)＝(52－k)由a·(2a－b)＝0得(21)·(52－k)＝0∴10＋2－k＝0解得k＝12.3.已知|a|＝5|b|＝4a与b的夹角θ＝120°则向量b在向量a方向上的正投影为________.答案－2解析由数量积的定义知b在a方向上的正投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三易错自纠4.已知向量ab的夹角为60°|a|＝2|b|＝1则|a＋2b|＝________.答案2eq\r(3)解析方法一|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB如图则|a＋2b|＝|eq\o(OC\s\up6(→))|.又∠AOB＝60°所以|a＋2b|＝2eq\r(3).5.已知点A(－11)B(12)C(－2－1)D(34)则向量