（新教材）2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案： 6-3 利用导数解决实际问题 WORD版含解析.doc

6.3利用导数解决实际问题新版课程标准学业水平要求利用导数解决与函数有关的问题1.借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用.(数学运算)2.能利用导数解决简单的实际问题.(数学运算)关键能力·素养形成类型一函数的图象问题【典例】给定函数fQUOTE=ex-x.(1)判断函数fQUOTE的单调性,并求出fQUOTE的值域;(2)画出函数fQUOTE的大致图象;(3)求出方程fQUOTE=mQUOTE在区间[-1,2]的解的个数.【思维·引】(1)求导数、求极值后确定最值,得到值域;(2)利用函数的单调性,增长趋势作图;(3)利用图象的交点个数判断解的个数.【解析】(1)函数的定义域为R.f′QUOTE=ex-1,令f′QUOTE=0,解得x=0.f′QUOTE,fQUOTE的变化情况如表所示:x0f′QUOTE-0+fQUOTE单调递减1单调递增所以,fQUOTE在区间QUOTE上单调递减,在区间QUOTE上单调递增.当x=0时,fQUOTE的极小值fQUOTE=1.也是最小值,故函数fQUOTE的值域为QUOTE.(2)由(1)可知,函数的最小值为1.函数的图象经过特殊点fQUOTE=QUOTE+1,fQUOTE=e2-2,fQUOTE=1,当x→+∞时,fQUOTE→+∞,f′QUOTE→+∞;当x→-∞时,指数函数y=ex越来越小,趋向于0,因此函数fQUOTE图象上的点逐渐趋向于直线y=-x.根据上述信息,画出函数fQUOTE的大致图象如图所示.(3)截取函数fQUOTE在区间[-1,2]上的图象如图所示.由图象得:当fQUOTE<m≤fQUOTE,即m∈QUOTE时,fQUOTE与y=m恰有两个不同交点,即m∈QUOTE时,方程fQUOTE=m在区间QUOTE上恰有两个不同的实根;同理,当m=1或QUOTE+1<m≤e2-2时,方程fQUOTE=m在区间QUOTE上有唯一的实根;当m<1或m>e2-2时,方程fQUOTE=m在区间QUOTE上无实根.【内化·悟】作函数的图象时需要关注哪些方面?提示:定义域、单调性、极值、最值以及图象的变化趋势等.【类题·通】作函数fQUOTE图象的步骤(1)求出函数的定义域;(2)求导数f′QUOTE及函数f′QUOTE的零点;(3)用f′QUOTE的零点将fQUOTE的定义域划分为若干个区间,列表给出f′QUOTE在各个区间上的正负,并得出fQUOTE的单调性与极值;(4)确定fQUOTE的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势;(5)画出fQUOTE的大致图象.【习练·破】函数f(x)=(x2+tx)ex(实数t为常数,且t<0)的图象大致是()【解析】选B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C,函数的导数f′(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex=[x2+(t+2)x+t]ex,当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,排除D.类型二实际生活中的最值问题【典例】(2020·泰州高二检测)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件.(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.【思维·引】(1)利润=每件商品的利润×销售量;(2)利用导数求最值.【解析】(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)=(x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9].(2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)=(10-x)(18+2a-3x),令L′(x)=0,得x=6+QUOTEa或x=10(舍去).因为1≤a≤3,所以QUOTE≤6+QUOTEa≤8.所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a.当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(16-4a)万元.【类题·通】解决实际优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;(2)一般地,通过函数的极值来求函数的最值.如果