（新教材）2020-2021高中数学人教B版选择性必修三课时素养评价 6-3 利用导数解决实际问题 WORD版含解析.doc

课时素养评价二十利用导数解决实际问题(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,若容器底面的长比宽多0.5m,要使它的容积最大,则容器底面的宽为()A.0.5mB.0.7mC.1mD.1.5m【解析】选C.设宽为xm,则长为(x+0.5)m,因为总长为14.8m,所以高为(3.2-2x)m,0<x<1.6,所以体积为V=x(0.5+x)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,V′=-6x2+4.4x+1.6,当x=1时,V有极大值亦为最大值.2.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是()A.(-QUOTE,1)B.[-QUOTE,1)C.[-2,1)D.(-QUOTE,-2]【解析】选C.由于函数f(x)在开区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点在(a,6-a2)内,且在(a,6-a2)上的单调性是先减再增.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当-1<x<1时,f′(x)<0,当x>1,f′(x)>0,所以函数f(x)的极小值为f(1).又函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,所以f(a)≥f(1),由QUOTE解得-2≤a<1.3.函数y=f(x)=xsinx在[-π,π]上的图象大致为()【解析】选C.fQUOTE=QUOTE·sinQUOTE=xsinx=f(x),为偶函数,则B,D错误;又当x∈QUOTE时,f′(x)=sinx+xcosx,当f′(x)=sinx+xcosx=0时,得x=-tanx,由,则极值点x0∈QUOTE,故A错误.4.(多选题)若f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且对于任意x∈(0,+∞),有xf′(x)>f(x)>0,设a>b>0,则下列不等式一定成立的是()A.af(a)>bf(b)B.af(a)<bf(b)C.af(b)>bf(a)D.af(b)<bf(a)【解析】选AD.因为x∈(0,+∞),有xf′(x)>f(x)>0,令g(x)=QUOTE,则g′(x)=QUOTE>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,由a>b>0,可得g(a)>g(b)即QUOTE>QUOTE,所以bf(a)>af(b),故D正确;因为xf′(x)>f(x)>0,令h(x)=xf(x),则h′(x)=xf′(x)+f(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,由a>b>0,可得h(a)>h(b),即af(a)>bf(b),故A正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若曲线f(x)=QUOTEx2-alnx在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y+1=0垂直,则常数a=________.【解析】由函数f(x)=QUOTEx2-alnx,可得f′(x)=x-QUOTE,所以f′(1)=1-a,即在点(1,f(1))处的切线斜率为k=1-a,又由在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y+1=0垂直,所以(1-a)×QUOTE=-1,解得a=-2.答案:-26.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品定价为P元,则销售量Q(单位:件)与定价P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P2,则该商品定价为________元时,毛利润L最大为________元.【解析】由题意得毛利润L=P·Q-20Q=-P3-150P2+11700P-166000(P≥20),所以L′=-3P2-300P+11700.令L′=0,得P=30或P=-130(舍去).当P∈[20,30)时,L′>0;当P∈(30,+∞)时,L′<0,所以当P=30时,L取得极大值,也是最大值.故当定价为30元时,毛利润最大为L=23000元.答案:3023000三、解答题(每小题10分,共20分)7.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件,并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N+)件之间的关系为P=QUOTE,每生产一件正品盈利4000元,每出现一件次品亏损2000元.(注:正品率=产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数.(2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值.【解析】(1)因为y=4000×QUOTEx-20001-QUOTEx=3600x-QUOTEx3,所以所求的函数关系式是y=-QUOTEx3+3600x(x∈N+,1≤x≤40).(2)显然y′=3600-4x2.令y