（新高考专用）2023年高考数学一轮复习精讲必备 第7讲 函数与方程（讲义含解析）.docx

第7讲函数与方程学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.函数的零点(1)概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：2.函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.考点和典型例题1、函数零点所在区间的判断【典例1-1】（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】函数是上的连续增函数,,可得,所以函数的零点所在的区间是.故选：C【典例1-2】（2021·山西·太原五中高三阶段练习（文））利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：设，当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，又（2），（3），故（2）（3），故方程在区间上有解，即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.故选：C．【典例1-3】（2019·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5【答案】C【详解】根据二分法，结合表中数据，由于所以方程的一个近似根所在区间为所以符合条件的解为1.4故选:C.【典例1-4】（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】零点个数就是图象交点个数，作出图象，如图：由图可得有个交点，故有个零点．故选：B．【典例1-5】（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（）A．0B．2C．4D．6【答案】B【详解】令，得，图象关于对称，在上递减.，令，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，，在上递增，所以与有两个交点，两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.故选：B2、图像零点个数的判定【典例2-1】（2022·北京·模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【详解】由可得或，又，则，或，或则的零点个数为3故选：C【典例2-2】（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数，则函数的零点个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【详解】令，当时，且递增，此时，当时，且递减，此时，当时，且递增，此时，当时，且递增，此时，所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：由图知：与有两个交点，横坐标、：当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.综上，的零点共有4个.故选：B【典例2-3】（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：当时，函数为常函数，没有零点，不满足题意，所以为一次函数，因为在内恰有一个零点，所以，即，解得或.故的取值范围是.故选：C【典例2-4】（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（）A．4个B．5个C．3个或4个D．4个或5个【答案】D【详解】因为，所以的周期为2，又因为为奇函数，，令，得，又，所以，当时，，由单调递减得函数在上单调递增，所以，得，作出函数图象如图所示，由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时在上只有3个零点.当时，有4个零点.所以当时，函数在上有4个或5个零点.故选：D【典例2-5】（2022·宁夏银川·一模（理））设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【详解】由，，得，，取，可得.若在上单词递增，则，解得.若，则.设，则，因为所以函数在上的零点最多有2个.所以在上的零点最多有2个.故选：A3、图像零点的综合应用【典例3-1】（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知：若有4个零点，则实数a的取值范围是，故选：A【典例3-2】（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】显然不是的根.所以因此只有一个实数x满足等价于方程只有一个实数根.令，