（新高考专用）2023年高考数学一轮复习精讲必备 第4讲 函数及其性质（讲义含解析）.docx

第4讲函数及其性质学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理基本概念1.函数的概念概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量取值的范围值域所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.奇偶性、周期性1.函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.考点和典型例题1、函数的概念【典例1-1】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））已知是定义在R上的奇函数，且时，，则（）A．27B．－27C．54D．－54【答案】A【详解】由已知可得，，因此，．故选:A．【典例1-2】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））若函数则（）A．10B．9C．12D．11．【答案】A【详解】当时，，所以．故选：A.【典例1-3】（2022·北京·模拟预测）函数的定义域是_______．【答案】【详解】由题意可得，，解之得则函数的定义域是故答案为：【典例1-4】（2022·浙江·模拟预测）已知，则___________.【答案】11【详解】由于，从而.故答案为：11.【典例1-5】（2022·浙江温州·三模）已知函数若，则实数a的值等于___________.【答案】【详解】①当即时，，则（舍）②当即时，Ⅰ：当,即时,有Ⅱ:当时，即时，有无解综上，.故答案为：2、单调性及其应用【典例2-1】（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由为奇函数且在上递增，A、B：、非奇非偶函数，排除；C：为奇函数，但在上不单调，排除；D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.故选：D【典例2-2】（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由是奇函数在单调递增，且可知：当时，，当时，，又或，解得：或满足的x的取值范围是或故选：D【典例2-3】（2022·河北唐山·二模）已知函数，若，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：定义域为R，又，所以是奇函数，当时，，当时，，易知在上递增，所以在定义域R上递增，又，所以，解得，故选：C【典例2-4】（2022·山西太原·二模（文））已知函数，则（）A．在上单调递增B．在上单调递减C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关