（新高考专用）2023年高考数学一轮复习精讲必备 第25讲 直线的方程（讲义含解析）.docx

直线的方程学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π).(2)斜率公式①一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.2.直线的方向向量、法向量(1)直线的方向向量的定义一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.(2)直线方向向量的有关结论①如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.②如果直线l的斜率为k，则(1，k)是直线l的一个方向向量.③若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝eq\f(y,x).(3)直线的法向量的定义一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相垂直.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线考点和典型例题1、直线的倾斜角与斜率【典例1-1】过点的直线的倾斜角为（）A．B．C．1D．【答案】A【详解】过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，故选：A．【典例1-2】已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，所以由图可知，或，因为或，所以或，故选：D【典例1-3】直线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】A【详解】直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为，则.故选：A.【典例1-4】如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由斜率的定义可知，.故选：A．【典例1-5】直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（）A．B．C．2D．-2【答案】B【详解】由题，，直线的倾斜角为，故故选：B2、求直线的方程【典例2-1】过点且与直线垂直的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，故选：B．【典例2-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，令，所以直线与轴的交点为，令，所以直线与轴的交点为，所以，当且仅当即时取等，所以此时直线为：.故选：C.【典例2-3】已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.【典例2-4】直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】根据题意，直线不与轴垂直，则其斜率存在，设为，则，因此，直线，令则有，则，令则有，则.因此，当且仅当即时取等（舍去），故面积最小值为4，此时，即.故选：C.【典例2-5】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率则的欧拉线的方程为，即故选：D．3、直线方程的综合应用【典例3-1】已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】设直线过定点，则直线可写成，令解得直线必过定点．，．直线与线段相交，由图象知，或，解得或，则实数的取值范围是．故选：A【典例3-2】的